高等电磁场作业一 周竞科
x 5h 3h h 1??r11??r1?0?r1 o ????21??r1? 1-h 4?r1?r1??r2y (1??r3)(1??r1)?r1??r214?r1? -3h (1??r3)(1??r1)?r1??r214?r1(?r1??r2)2?r1?1?r1?1? -5h (1??r3)(1??r1)?r1??r2(?r1??r2)(3?r1?1?r1?1)?2 (c)
由规律可以推出区域3电位表达式为
?????2?(1??0?r1r3?)r1({ln1(x?h))k?12??y?12 1???k?0?r1??r2?r1??r2(?r1?r1?1)lnk1
}22?x?(2k?1)h??y
13-1 求13-2所示的同轴线TM模的场分布。
y?xz?ab
图13-2 同轴线
?， 解: 令电Hertz矢量?e??ez则边界条件为??er?ar?b自然边界条件是在圆周方?0。
向场单值。于是，
??[AJ(n?)?BN?cosm???j?z?e (n?)]????sinm??emm由边界条件得
高等电磁场作业一 周竞科
?AJ??AJmm(na)?BN(nb)?BNmm(na)?0(nb)?0
于是： Jm(na)Nm(nb)?Jm(nb)Nm(na) 上式便是确定n的本征方程。确定了n后，由n电Hertz矢量为
??A[Jm(n?)?Jm(na)Nm?cosm???j?z?e Nm(n?)]???(na)?sinm??2?k2??2便可确定传播常数?，进而得
e??e??Et??t??z?22??e??e?????E?22代入?z便可得到同轴线TM模的场分布。 ?z?t?????e??e?)???t??Ht???t?(z?z?t?t??H?0?z
13-2 证明?＝(ln?)e?jkz是齐次标量波动方程的一个解。若取??e?，计算由此?所形??z成的TM波。在z?常数的平面上画出瞬时电力线和磁力线分布。什么样的实际系统可以支
持这样的波？ 证：???2???z222????y22????x22????z22??k(ln?)e2?jkz??k?
2????k??0满足其次标量波动方程。 ????(ln?)e??z?jkz2e? z??e??Et??t??z?22??e??e?????E?22代入?z便可得到TM模的场分布。 ?z?t?????e??e?)???t??Ht???t?(z?z?t?t??H?0?z
14-1 图14-3所示为一同轴线-矩形波导探针激励装置。假设探针电流为无限细线电流形式
高等电磁场作业一 周竞科
I?I0sink0(d?y) 0?y?d, x?a2, z=0yb
ldz0ax试求由此电流所激励的TE10模的振幅。
???ds 解：已知 Pn?2?en?hn?zs0图14-3 同轴线一波导探针激励装置
Cn???1Pn?v???1En?Jdv??Pn??j?(z?z)??n2(e?e)?Jdv ?nznev
Cn???1Pn?v???1En?Jdv??Pn?v???(en?ezn)?Jej?n(z?z1)dv
在TE10激励波中，其产生的场为
?xa?j?zEy?eye?j?z?sine?j?z，Haby?hxe2??Ywsin
?xae?j?z
?P10?2?0?0Ywsin?xadxdy?abYw式中，Yw是TE10模的波导纳，?是传播常数。
短路波导中的探针，等效于原来的探针加上至于无限长波导中z??2l处（设原位置为z＝0）的它的镜像。若假定辐射到z>0区域的场为Ey?csin则可以得到
C????xae?j?z
??1abYw11[?I0sink0(d?y)dy?0?0I0sink0(d?y)e?2j?ldy]?I0Ywabk0
?2j?l(e?1)(1?cosk0d)所以，由探针向z>0处所辐射的TEI0Ywabk0?2j?l10模的总横向场为
?xa?j?zEy?(e?1)(1?cosk0d)sine
Hx??YwEy
??????j??r14-2 已知 H?Hme，Hm?为常矢量，试证明： ????H???2????H??(??H)。
证：????H??(??H)??H
??2高等电磁场作业一 周竞科
?2??????H22?j??r2?H??(j?)Hme???H 2?r?????????????j??r?j??r?(??H)??[??(Hme)]??(??eHm)??(?j??Hm)???(??Hm)
?代入可得????H??2????H??(??H)
??平行，张量介电常14-3 一平面波在无界等离子体中传播。传播方向与外加磁场B0?B0z??1 j?2 0???数为 ???-j?2 ?1 0?, 试求本征波的传播常数和场表示式。
?0 0 ??3??解：考虑非互易媒质?0?r,?0?r。在无源情况下，满足
?????H?j???E?0r?? ?????E??j??0?r?H2于是 ????E?k0?r?r?E
考虑无限大空间的均匀平面波，设
E?Eme???j??r
式中，Em为常矢。
应用矢量公式，可以证明
????E??E??(??E)
2????2代入得 ?E??(??E)?k0?r?r?E
2把E分解成平行于传播方向?的E?分量和垂直于?的Et分量，即
E?E??Et
??则可得
?(E??Et)??E??k0?r[?222tt??t????t??u]?(E??Et)
即 (k0?r?2tt??2I)?Et?k0?r?22t??E??0
k0?r(??t?Et?????E?)?0
高等电磁场作业一 周竞科
??写成矩阵形式为 ????tt??I ? ?t??t u??E?t? ??=0 ??El??式中，???22k0?r。上式便是求传播常数?的本征方程。
使E有非零解的充要条件是
??det???????I ? ?uttt??t ??=0 ??求得了?后，可得传播常数 ??k0?r?
??1?? j?2 0???在此题中，det-j?2 ?1?? 0?0
????0 0 ?3??即 (?1??)?k设 ?1?k，则 ?22?0
??1??1?k??2??1?k
? h ?? h ??????1和?2对应的本征矢分别为 E1??jh E2? jh
??????? 0??? 0??式中，h为任意常数。
因此，在纵向磁化时，对应有两个本征波，一个是xoy平面的右旋(相对于E0)圆极化波E1，对应的传播常数为?1??0??0?r?0(??k)
另一个本征波是xoy平面的左旋(相对于E0)圆极化波E2，对应的传播常数为
?2??0??0?r?0(??k)
15-1 试证一维、二维标量波动方程的标量Green函数分别为
G0(x,x?)??j2ke?jkx?x?
G0(?,??)?????j4H(2)0??(????)
式中，x?,??为源点坐标，x,?为场点坐标。