高等电磁场作业一 周竞科
证明：设有两解分别为?1和?2，考虑差值函数????1??2，满足??应用Green第一恒等式
2?k2??u?0
?(??v2???????)dv?????s?ds ?n上式中令????，????，则有
???????v2dv???us??u?nds
可见，只要满足边界s上的?给定; 或边界s上的
???n???n给定；
给定；
或边界s上一部分的?给定，另一部分的
中三个条件中的任何一条，都有???0，即?1??2，?被唯一确定。
9-1： 证明：如果源J1和J2均在体积v内，则互易定理为
????s?????ds?0 (E1?H2)?(E2?H1)?n?
证：由Lorenty互易原理的积分形式可得
?????(E?H?E?H)?ds??1221s?????(E2?J1?E1?J2)dv
v??当源源J1和J2均在体积v内时，设v外的空间v1为无源空间。
所以
??????(E1?H2?E2?H1)?n?ds?0，s为包围v的球面，s0为半径r??的球面。
s?s0由于两组源都分布在有限空间内，所以在无限远处的辐射场为沿r方向的TEM波，其中
?1??H?n?E
?????????????因而有 E1?H2?n?E2?H1?n?(n?E1)?H2???????(n?E2)?H1??H1?H2????H2?H1?0
于是
?s0?????(E1?H2?E2?H1)?n?ds?0??s?????(E1?H2?E2?H1)?n?ds?0
???????ds?0 ?将n??n代入上一式可得?(E1?H2)?(E2?H1)?n??s
9-2： 证明无限靠近理想磁体表面的面磁流不产生电磁场。
证：设有一理想磁体，在无限靠近该导体的表面上有面磁流Jms，在空间有一任意磁流源
?高等电磁场作业一 周竞科 ???????Jm2，Jms在空间各处产生的电磁场为E1, H1，Jm2在空间各处产生的电磁场为E2, H2，
根据互易原理，有
?v??(Jms?H2)dv??v??(Jm2?H1)dv
???由于在理想磁体表面磁场只有法向分量，而Jms为切向磁流，故Jms?H2?0。于是
?v??Jm2?H1dv?0
??又由于Jm2任意，所以E1?0。
所以无限靠近理想磁体表面的面磁流不产生电磁场。
11-1 一点电荷q放置在夹角为600的导体拐角中，电荷距拐角尖点的距离为r0,与拐角的最小夹角为?。试利用镜像原理求解点电荷在拐角中产生的电位。如果拐角的夹角改为500,问能否应用镜像原理？为什么？ 解：因为??23?3，所以将产生5个镜像电荷，另拐角的一边为x轴正方向，则其镜像电荷
43角度分别为???,???,?。
具体电荷坐标分别为
(rcos?,?rsin?),(rcos(23???),rsin(23???)),(rcos(43???),rsin(43???))
点电荷在拐角产生的电位可以等效为六个电荷在自由空间产生的和电位，因此由电位公式
??4?[(x?x0)2q1
?(y?y0)]22可以得到的电位为
5???i?0q1
4?[(x?xi)2?(y?yi)]22xi和yi分别是具体电荷坐标。
当夹角为??50时，不满足??0180n0（n为正数），所以镜像电荷将产生无穷个，无法应
用镜像原理。
11-2 如图所示，接地无限大导体平板上突起一半径为a的半球形，在x?d处有一点电荷q。试利用镜像原理求解该电荷产生的电位。
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解：在接地无限大导体作用下，点q产生一个镜像电荷q’，根据平面板的镜像原理可知q’＝－q，x’＝－d。
将半球形看成一个完整球形，则此两个电荷又分别产生一个镜像电荷，根据球形腔的镜像原理可以得到它们的电荷大小和位置分别为q’’＝所以
??q1adq, x’’＝
ad2, q’’’＝－
adq, x’’’＝ －
ad2
?4?d[(x?aqad21?q1?4?d[(x?aqad214?[(x?d)2?y]22)2?y]224?[(x?d)2?y]22)2?y]22
11-3 如图11-10所示，一密度为?的无限长均匀分布的线电荷，平行放置在半径为R的接地导体圆柱外x?a。试尝试用镜像原理求解该问题。
解：设点c为系统的零电势点，设N点为镜像电荷所在点，密度为?'。
????2??lnr1a?R??'2??plnr2R?d，r1?a?R?2aRcos?,r2?a?d2222?2adcos?
其中， ?为op与oM的夹角，r1为pM长度，r2为pN长度，d为oN长度。
r1a?Rr2R?dRa2因为圆柱接地，所以?p?0??ln???'ln?????',d?
所以电位为 ??
?2??lnar2Rr1
12-1 试利用镜像原理求解如图12-6所示的线电荷?在三层介质中 产生的电位。
x?0h?r10??解：利用介质镜像原理先确定0 ? 区域2有两个边界，对它们分别应用镜像原理可以得到如下镜像电荷分布 0y0?r2高等电磁场作业一 周竞科 x 5h 2?r11??r1?r1??r2(?r1??r2)(2?r1?1?r1?1)? 23h 2?r1?r1??r2?r1?11??r1?r1??r2?r1?1? h 2?r11??r1?0?r1 o ? y 2?r1?r1??r2-h 1??r1?r1??r22?r1? -3h 1??r1?r1??r22?r1(?r1??r2)2?r1?1?r1?1? -5h 1??r1?r1??r2(?r1??r2)(3?r1?1?r1?1)?2 (a) ?由这些规律可以推出区域2电位表达式为 ??＝? ?ln?????0(1??r1?)1(?r1??r2?r1?1?r1??r2?r1?1?22)k?????k?0 ?r1??r2?r1??r2ln1?x?(2k?1)h??y?x?(2k?1)h??y22 在区域3中，其只有一条与区域2的边界。因为区域2无电荷，故不对区域3产生影响。区域1对它的影响可以看成上图（a）中区域1中的电荷对区域3的影响，依照介质镜像原理，在这些电荷上乘以因子 2?r3r31??，如图所示 高等电磁场作业一 周竞科 x 5h 2?r11??r1?r1??r2(?r1??r2)(2?r1?1?r1?1)22?r31??r3? 3h 2?r1?r1??r2?r1?12?r31??r1?r1??r2?r1?11??r3? h 2?r11??r1?0?r1 o -h ? y -3h -5h (b) 由这些规律可以推出区域2电位表达式为 ??＝ ???02?r1?r3r3(1??)1???k?0(?r1??r2?r1?1?r1??r2?r1?1)k?ln1?x?(2k?1)h??y22 在区域1中，其只有一条与区域2的边界x?h。为了保证x?h介质边界条件，在区域2中x?h处加电荷 －1－?r1＋?r?。区域3对它的影响可以看成上图（a）中区域3中的电荷对区 域1的影响，依照介质镜像原理，在这些电荷上乘以因子 21??r3，如图所示