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摘要?????????????????????1 引言?????????????????????2 一、函数极限的一些基本求法??????????2 二、求函数极限的一些技巧及特殊求法??????9
㈠运用化简原则，简化极限运算过程 ㈡七种待定型的求法 ㈢求解几类特殊极限的方法
三、数列极限的几种特殊解法?????????20 ㈠将数列转化为相应的函数
㈡利用级数收敛的必要性
㈢利用定级分或导数定义 ㈣用O.Stolz定理 ㈤利用中值定理 ㈥利用斯特林公式
总结????????????????????24
参考文献??????????????????24
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关于极限的求法
郑英
（渤海大学数学系 辽宁 锦州 121000 中国）
摘要：极限是学习微积分的基础，是整个高等数学的基础，它贯穿于微积分学的始终，是微积分的重要研究方法。因而极限掌握的好坏直接影响到以后的学习。极限包括两类:数列的极限和函数的极限。求极限是学习数学中的一个重点和难点，本文对极限的求法作出了较为详细的归类总结，重点举例分析其中几种重要和特殊的解法。而对于求某些特殊形式的极限，本文也做出了相应的解决方法。而且本文中大部分例题都给出了多种解法，以便在学习求极限时学会分析和积累经验。
关键词：极限；数列；收敛；导数；线性插值。
Methods of the limit
Zheng Ying
（Department of Mathmatics Bohai University Jinzhou Liaoning 121000 China) Abstract The limit is the foundation of studying ealculus and the entire higher mathenetics.The limit which goes through the calcalus is an important reseach technigue.Thus grasping guality about the limit directly affects later study.The limit indudes two kinds:Sguence limit and Function limit.Solving limit plays an important and difficult role during studing mathematics.This article makes a classified sammarization on the mathods of limitin detail,maily analying some of the important and special methods.As for some methods of special limit,this article also puts forward other corresponding solutions. Moreover in this article the majority of sample questions have allproduced the
many kinds of solutions, in order to asks the limit whenthe study academic society analysis and accumulation experience.
Keywords The limit；The sequence；Restraining；The derivative；Linear interpolation.
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引言
在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容?1?,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文分三个部分，来介绍极限的求法，首先简单介绍了求极限的基本解法，重点是第二部分求函数极限的一些技巧及特殊求法，这是我在学习数学分析和微积分中的一些总结以及和同学共同讨论的具体的实例。这对于解决极限问题有很大的帮助，尤其是一些技巧的运用可以让解题更轻松，简便，第三部分是关于数列极限的特殊求法。本文就关于求极限的方法、技巧以及特殊解法作了一个全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。
一、函数极限的一些基本求法：
1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明:
x2?3x?2lim?1 x?2x?2x2?3x?2x2?4x?4?1?证: 由
x?2x?2??x?2?2x?2?x?2
???0 取??? 则当0?x?2?? 时,就有
x2?3x?2?1??
x?2由函数极限???定义有:
x2?3x?2lim?1 x?2x?22、利用极限的四则运算性质
f(x)?A limg(x)?B 若 xlim?xx?x00?f(x)?g(x)?? xlimf(x)?limg(x)?A?B (I)xlim?x?xx?x000 2
3
?f(x)?g(x)??xlimf(x)?limg(x)?A?B (II)xlim?x?xx?x000(III)若 B≠0 则：
limf(x)f(x)x?x0A lim?? x?x0g(x)limg(x)Bx?x0c?f(x)?c?limf(x)?cA （c为常数） （IV）xlim?xx?x00上述性质对于x??,x???,x???时也同样成立
x2?3x?5例：求 lim
x?2x?4x2?3x?522?3?2?55解: lim=? x?22?42x?43、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）
设函数f(x)、g(x) 满足：
f(x)?0；(II) g(x)?M (M为正整数)， （I）xlim?x0g(x)f(x)?0 则：xlim?x0例: 求 limx?sin
x?01xx?0 而 sin 解: 由 limx?01?1 x故 原式 =limx?sin?0
x?01x4、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （I）若：limf(x)?? 则 lim1?0 f(x)(II) 若: limf(x)?0 且 f(x)≠0 则 lim例: 求下列极限
1?? f(x) 3
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① lim11 ②lim
x??x?5x?1x?1(x?5)?? 故 lim解: 由 limx??
1?0
x??x?51(x?1)?0 故 lim由 lim=? x?1x?1x?15、等价无穷小代换法
设?,?',?,?' 都是同一极限过程中的无穷小量，且有： ?~?,?~?，
''?'lim' 存在， ??'??则 lim 也存在，且有lim= lim'
???1?cosx2例:求极限lim2
x?0xsinx2(x2)2 解: sinx~x, 1?cosx~
2222(x2)21?cosx22?1 =? lim2x?0xsinx22x2x2注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”。
6、利用两个重要的极限。
(A)limsinx1?1 (B)lim(1?)x?e
x?0x??xx但我们经常使用的是它们的变形：
sin?(x)?1,(?(x)?0)?(x)
1(B')lim(1?)?(x)?e,(?(x)??)?(x)(A')lim例：求下列函数极限
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