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=(x?2)(x2?3x?10)xlim??2(x?2)(x2?5x?6) =(x2?3x?10)(x?5)(x?2)xlim??2(x2?5x?6)=xlim??2(x?2)(x?3) =x?5xlim??2x?3??7 ⑷“00”型未定式中一类特殊情形
例：求下列极限?3?：
（1）lim(x?h)3?x3x??x?xln(1?ax)h?0h；（2）?limx?0?x；（3）limx?0x。 解：（1）
(x?h)3?x3?limh?0h;?lim(x?h?x)???(x?h)2?x(x?h)?x2??h?0h ?lim2h?0??(x?h)?x(x?h)?x2???3x2（2）
?lim(x??x)?xx?0?x;?(x??x)?x)((x??x)?x)?limx?0?x((x??x)?x)1 ??limx?0(x??x)?x?12x(x?0)（3）令ax?t，则x?ta，且当x?0时t?0，
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limln(1?ax)x?0x1xat1ta1t1tx?0?lim(1?ax)?limln(1?t)t?0 ?limln[(1?t)]
t?0?limaln(1?t)t?0?alnlim(1?t)t?0?alne?a ⒉0??型：对于函数f(x)g(x)属于“0??”型未定式，可做如下变型：
g(x)f(x)110?f(x)［或g(x)］，这样就化成了?型或0型未定式了。
xx??1lim(x??)tan?lim?lim??2x??2x??cosxx???1csc2x222 如： f(x)g(x)?g(x)f(x)11此求法中把f(x)g(x)化成f(x)还是化成g(x)应视具体情况而定，看哪
一种化法更容易求解。
⒊???型：为分式相减，先通分；为根式相减的，先根式有理化；
0?化为 0或?型求极限。
如：
11lim(?)x?0xln(1?x)ln(1?x)?x?limx?0xln(1?x)ln(1?x)?x?limx?0x21?11?x?limx?02x?x1?lim??x?02x(1?x)2
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lim(x2?x?x2?1)x?0x2?x?x2?111?x?limx?0111??1?2xx1? 2
x?0?limx2?x?(x2?1) ⒋1,0,?型：这三种情形均是冥指函数求极限，由
?00limu(x)v(x)分类引
1sinxx2sinxx2lim()y?()v(x)u(x)xx出 ，可先求对数的极限来求解。如，令，去
1对数求极限：
lnlimlny?limx?0x?0sinxx2xsinx?1x?limx?0x2sinx?x?limx?0x3cosx?11?lim??x?03x26
故：原极限为e。 又如x?0x?0?16lim(cotx)?x?01lnx，令y?(cotx)，取对数求极限：
1lnxlimlny?lim??lncotxlnx1(?csc2x)cotx?lim?x?01x?x?lim??1x?0?sinxcosx
?1故：原极限为e。
其中1亦可能用到重要极限
?f(x)?0lim(1?1f(x))f(x)来求。如：
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?11x1lim(1?)xx?02x1x?lim(1?)x?lim(1?)11x?0x?022
x1?lim(1?)xx?02?e?12㈢求解几类特殊极限的方法： 1、放大缩小法
例1 设f(x)在x0点可微，而
?n?x0??n(n?1,2,…)?n?x0,?n?x0(n??),求limn??f(?n)?f(?n) （1）
?n??n分析：所求极限（1），是函数f(x)的增量与自变量相应的比的极限，很容易联想到导数的定义。显然
limf(?n)?f(x0)?f'?(x0)?f'(x0), （2） n???n?x0f(?n)?f(?n)lim?f'?(x0)?f'(x0), （3） n???n??n（2），（3）的左边，分子与分子相加，分母与分母相加，就得（1）。（1）同（2）、（3）的关系就揭示出来了。
引理 若?（其中a?0,c?0）则
bb?dd? （4）
aa?ccb?dbad?bc 事实上， ???0
a?caa(a?c)b?dd 同理 ??0
a?ccbadc ? 下面是例1的求解。 解：应用上述引理，由于
f(?n)?f(?n)(f(?n)?f(x0))?(f(x0)?f(?n))? （5）
?n??n(?n?x0)?(x0??n)f(?n)?f(?n)f(?n)?f(x0)f(x0)?f(?n)知总在与之间
?n?x0x0??n?n??n
记?n(x0)?min??f(?n)?f(?n)f(x0)?f(?n)?,?
?n??nx0??n???f(?n)?f(?n)f(x0)?f(?n)??n(x0)?max?,?
???x??nn0n??则lim?n(x0)?lim?n(x0)?f'(x0)，而
n??n?? 18
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?n(x0)?f(?n)?f(?n)??n(x0) （6）
?n??n对（6）式利用求极限的两边夹方法，得到 limn??f(?n)?f(?n)?f'(x0)
?n??n2．线性插补法
例1 设f(x)在?a,b?内连续，若有xn?a,yn?a(n??,xn,yn??a,b?)，
f(xn)?A,limf(yn)?B （7） 使limn??n??存在，则对A与B之间的任意数?，必可找到zn??a,b?,zn?a,f(zn)??(n??)。
分析：题意自然假定A?B。
当n??时， f(xn)?A,f(yn)?B的状态可能是多种多样的，虽然n充分大时，可做到f(xn)?f(yn)（设A?B时）。但f(yn)?f(xn)的变化趋势仍然是复杂的，不一定具有单调性。为解决此问题，可以设想一种线性插补：将(A,f(xn))，
(?,f(zn))与(B,f(yn))视为同一直线上的三点，于是
f(zn)?f(xn)???AB?A(f(yn)?f(xn)) （8）
无论f(xn)与f(yn)的大小关系如何，f(zn)总在f(xn)与f(yn)之间。
证明：作 ?n?f(xn)?(f(yn)?f(xn)) （9） B?A显然，?n位于f(xn)与f(yn)之间。因f(x)在?a,b?内连续。由连续的介
??A值定理，必存在位于xn与yn之间的点zn，适合f(zn)??n，因xn?a,yn?a故zn?a(n??)。
??A?(f(yn)?f(xn))??A?(B?A)?? B?AB?A??1,1)。x?0为f(x)的 注：上述例子的一个模型为f(x)?sin，取?a,b??(0x振荡间断点。可取xn?0，yn?0，f(xn)?0，f(yn)?1(n?1,2,…)且可做到
?f(zn)? 从而 limn?????A时而xn?yn，时而xn?yn可见，证明中的关键是“存在位于xn与yn之间的点zn”。
求函数极限的过程是综合运用以上所述的各种方法的过程，惟有真正掌握数学的思维方法，灵活运用，才能在求函数极限的过程中游刃有余，且受益于生活实践。
三、数列极限的几种特殊解法
㈠将数列转化成相应的函数，利用罗必达法则求极限
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