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f(x)?A成立时，就有数列极限根据海涅定理，当函数极限limx??limf(n)?A成立。
n??4?14?1解 设y?tgx(?) （不防设x?）则lny?xlntg(?)
4x?4x111??(?2)?1?1?1xlntg(?)tg(?)cos2(?)?114x?lim4x4xlimlny?limxlntg(?)?lim??2x??x??x??114xx??2?2()2xx2 当x以任何方式趋向于??时，其函数lny的极限值均为2。故
?1?1limtgn(?)?explimnlntg(?)?e2 n??n??4n4n例1：求limtgn(?)
n???1n㈡利用级数收敛的必要条件求
2nn! 例2：lim n??nn2nn!解 考虑级数?n
n?1n? ?limn???n?1nn2?lim2?()??1 ?nn??n?1e由比值审敛法知，级数收敛，故当n?? 时，?n?0
2nn!?0 ?limn??nn 该方法步骤简单且容易奏效，其根据是“若级数?an收敛，则
n?1?liman?0”，故将数列极限的问题转化为级数收敛的问题。
n??㈢利用定积分定义或导数定义来求极限
有定积分定义知?f(x)dx的值f(x)在?a,b?上的和数列的极限，所以反
ba过来用定积分定义求这一类和式的极限。
例3 求limn???解 原式
??n111?111?111 ?lim??????lim??dx?2?n??n1222n2?n???k0n(1?x)22k?1?(1?)(1?)(1?)?(1?)nnn?n??111????? 222?(n?1)(n?2)(n?n)??与此例方法类似，利用导数定义亦可以求数列极限。
例4 若函数f(x)可微分及n为自然数，求
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?? limn?f(x?)?f(x)? n????1n1f(x?)?f(x)1?n解：limn?f(x?)?f(x)?lim?f'(x) ?n???n??1n??n㈣用O.Stolz定理?4?求极限
lgn n??n解 设xn?lgn，yn?n，则yn?1?yn，yn??，且有 x?x1 n?1n?lg(1?)?0，
yn?1?ynnxnlgn 故 lim?lim?0 n??yn??nn例5 求lim此例运用了O.Stolz定理。即若
(a)yn?1?yn(n?1,2,?),(b)limyn???,(c)limn??n??xn?1?xn存在，则 yn?1?yn limn??xnx?x?limn?1n ynn??yn?1?ynxn?本例方法常用于型的未定式lim，与根据海涅定理化为函数后使n??y?n用罗必达法则有异曲同工之效。 ㈤利用中值定理求极限
a),(a?0) n?1aa? 解 设f(x)?arctgx，在?,?上用拉格朗日中值定理，得 ??n?1n?aa1aaaa f()?f(，（其中） )?(?)???2nn?11??nn?1n?1n例6求 limn2(arctg?arctgn??an故当n??时，??0，可知 原式=limn2n?? 例7求limn???1aa1a2(?)?limn??a 1??2nn?1n??1??2n?(n?1)n?1k?xxedx（k为自然数） nn?1k?xxedx??ke??，（n???n?1） n此例运用了微分中值定理，也有的数列极限可以利用积分中值定理来求。
解 由积分中值定理，有 ?当n??时，???，故
?e?lim 原式=limn?????k???ke??0
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㈥利用斯特林公式求极限
1例8求lim(n!)n n??2?nn12 解 由斯特林公式：n!?2n?()?en，（其中0???1）
e1于是 (n!)n211?1n2?n????n???22n12n2n2nn12n3??(2?)?n?n?e? ???(2?)?n?n?e????1212?11212故 原式= lim(2?)2n?limn2nn??n??
?1n?limen???n??12n3?1
以上只是介绍了求极限的一些重要和特殊的方法。本文的目的不在于只列举几个例题，而在于寻找一些非常见的数列极限的求法，也有的仅仅作者的一种尝试，可能尚不成熟，希望在此起到抛砖引玉的作用，供大家探讨。 参考文献：
《高等数学》，中央广播电视大学出版社 ?1?柳重堪主编，
《大学数学解题艺术》，湖南大学出版社 ?2?胡适耕，
《数学分析习题集题解》，上海交通大学应用数学 ?3?曹敏谦，
《南京广播电视报》，浙江广播电视大学 ?4?黄美初，
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