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2．用等价无穷小量替代法化简，为此必须牢记下述等价无穷小量：
sinx?x?tanx?(e?1)?ln(1?x)?arctanx?arcsinx，当x?0时，
a??(1?x)?1???ax。
x(1?cosx)?12x2，
运用此法时必须注意:加减项的无穷小量不能用等价无穷小量代换，必须是两个无穷小量之比的形式或无穷小量作为极限式中的乘积因子，且代换后的极限存在，才可使用等价无穷小量替代法。
3.记住一些特殊量级的大小
①当x?0时，，即x?0xae?x?lnx x??②当时，即：x??x???x?a?lnxalimxlnx?0?，x?0alim(x?lnx)???(a?0)?
lime?xxa?0，x??limx?alnx?0
，x?? 4.记住一些常用结论:
lim(ex?xa)???lim(xa?lnx)???(a?0)①当a0?0,b0?0,m和n为非负整数时，
a0xm?a1xm?1???ama0lim?(当m?n时)， x???bxn?bxn?1???bb001m而当n?m时，上式为0；当n?m时，上式为?。
sinf(x)1f(x)?1lim(1?)?ef(x)?0f(x)??f(x)f(x)②， lim遇到上述情况时，可立即运用上述结论。 5．用导数定义求极限 有导数定义lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?f'(x0)把极限运算转化为在某一点处
?x的导数。
如：已知函数f(x)在x0处可导，表达式
?x?0limf(x0?a??x)?f(x0?a??x)?kf'(x0)，确定系数k.
?x解：
f(x0?a??x)?f(x0)??f(x0?a??x)?f(x0)?f(x0?a??x)?f(x0?a??x)lim?lim?x?0?x?0?x?xf?x0?(?a??x)??f(x0)f(x0?a??x)?f(x0)?alim?alim?af'(x0)?af'(x0)?2af'(x0)?x?0?x?0a?x(?a?x)由于f'(x0)?k??f'(x0)?2a， 故k?2a. 例：求取极限limx?0（法一）
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ln(x?1) x11
解：limx?0ln(x?1)ln(x?1)?ln(0?1)1?lim??ln(x?1)'?X?0??1 x?0xx?0x?1X?0此例运用导数定义求极限，也从另一个角度认证了洛必达法则，对
此有另一种解法。 （法二）
limln(x?1)0x?0()解：x01 ?limx?1x?01?1⒍多种方法的综合运用，减化运算过程?2?
例:求 lim1?cosx2x?0x2sinx2 [解法一]:
1?cosx2limx?0x2sinx2
2xsinx2sinxx?02x?x2cosx2?2xsinx2 2?lim?limx?0x2cosx2?sinx2 sinx2?limx2x?0cosx2?sinx2=12 x2注:此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法。
[解法二]:
?cosx22sin2x2limsinx2sinx21x?0x2sinx2=lim2x?0x2sinx2?lim2x?0x2?1sinx2?2x2?12 2x22?2注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。[解法三]:
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1?cosx21?cosx22xsinx22xsinx21lim2?lim22?lim?lim?2? 3x?0xsinx2x?0x?0x?04x2x?x4xx注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及洛必达法则 [解法四]:
(x2)2lim1?cosx21?cosx2x22x21x?0x2sinx2?limx?0x4?sinx2?limx?0x4?sinx2?2 注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。[解法五]:
2lim1?cosx22sinx222(x2)21x4x?0x2sinx2?limx?0x2sinx2?lim2x?0x2(x2)?lim2x?0x4?12 注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。 [解法六]：
lim1?cosx21?cosusinu令u?x2，x?0x2sinx2?limu?0usinu?limu?0sinu?ucosu?limcosu
u?0cosu?cosu?usinu?12注：此解法利用变量代换法配合使用洛必达法则。 [解法七]:
1?cosx2sinx2lim11x?0x2sinx2?limx?0x2cosx2?sinx2?limx?02? 1?x2tgx2注:此解法利用了洛必达法则配合使用两个重要极限。 此题还可以列出十多种解法，本文就不再详述。 ㈡七种待定型的求法 这七种待定型是:
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如何处理这七种待定型，以下逐一介绍，其中关键在于第一种待定型的介绍。 1.型与型 ⑴用洛必达法则 定理：若函数f和g满足
(i)limf(x)?0,limg(x)?0x?x0x?x00?,,0??,???,1?,00,?00?
00??(ii)f与g在x0的某空心邻域U0(x0)内可导，且g'(x)?0f'(x)(iii)lim'?A(A可为实数，也可为??或?），则 x?x0g(x)f(x)f'(x)lim?lim'?Ax?x0g(x)x?x0g(x)此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。 例如：
2lnx1lnx2lnxlim?limx?lim?2limx?0x???x???x???x???1x1x
2000?时不可求导。0?f(x)lim'f(x)g(x)不存在，此时应?遇到lim不存在也不是时，并不能说明原式x?ag'(x)x?sinxlim另找他法，如x???x。
注意：ⅰ. 要注意条件，也就是说，在没有化为, ⅱ.洛必达法则并非万能，少数情况下，虽然满足洛必达法则的条
ex?e?xlimx???ex?e?x件，但用它求解无效。如：，连续两次运用洛必达法则又回到
原表达式，出现死循环。此题直接计算即可。
iii.应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。
iv.要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。
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⑵利用泰勒公式
设f(x)在x0的领域内具有n阶导数，f(x)可以运用具有Peano（皮亚诺）余项的泰勒展式表示
f''(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?(x?x0)?…?(x?x0)n?Rn(x)（1）
2!n!其中Rn(x)?o((x?x0)n)，Rn(x)称为Peano（皮亚诺）余项，（1）称为Peano
（皮亚诺）余项的泰勒展式。 常用的初等函数的展开式有：
x?x?x2e?12!?…?xnn!?o(xn)
sinx?x?x3x5x2n?1n3!?5!…?(?1)?o(x2n?1(2n?1)!) 1?x2?x42ncosx?…?(?1)nx?o(x2n2!4!(2n)!) 11?x?1?x2?…?xn?o(xn) 1?1?x?x2?x3?…?(?1)nxn?o(xn1?x) 上述展开式中的符号o(xn)都有:
limo(xn)x?0xn?0 如：
limcosx?3cosxx?0(sinx)2x21??o(x2)???1?1x2?o(x2??lim4?6)??x?0x2?o(x2)?x2?o(x2)?lim121x?0x2?o(x2)?12
⑶约去零因式（此法适用于x?x00时,0型）
例: 求x3?x2?16x?20xlim??2x3?7x2?16x?12 解:原式=?x3?3x2?10x?(2x2?6x?20)xlim??2?x3?5x2?6x???(2x2?10x?12) 14