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ax?1lncosax (2)、 (1)、limlimx?0x?0lncosbxxx 解：（1）令ax?1?u,则 x?ln(1?u)a?1ulnalna 于是x?ln(1?u) 又当x?0时，u?0
故有：limax?1x?0x?limulnau?0ln(1?u)?limlnau?0ln(1?u)?limlnau?01?lnauln(1?u)u(2)、原式?limln[(1?(cosax?1)]x?0ln[1?(cosbx?1)]
?limln[(1?(cosax?1)]x?0cosax?1?cosbx?1cosax?1 ln[1?(cosbx?1)]cosbx?1?limcosbx?1x?0cosax?1 sin2a2x?2sin2?x(ax)2(b?lim2x)2x?0?2sin2b?lim22b2xx?0sin2b??2 2x(a2x)2a2(bx)22、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。(i)若f(x)在x?x0处连续，则limx?xf(x)?f(x0)0(ii)若f[?(x)]是复合函数，又limx?x?(x)?a且
0f(u)在u?a处连续，则limx?xf(?(x))?f[lim?(x)]?f(a)0x?x0例：求下列函数的极限
(1)、limexcosx?5x?01?x2?ln(1?x) （2） limln1(?x)x?0x 5
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excosx?5解：由于x?0属于初等函数f(x)?的定义域之内。21?x?ln(1?x)故由函数的连续性定义有：excosx?5lim?f(0)?6x?01?x2?ln(1?x)ln(1?x)(2)、由?ln(1?x)xx令??x??(1?x)故有：ln(1?x)lim?limln(1?x)x?ln(lim(1?x)x)?lne?1x?0x?0x?0x111x1
8、变量替换法（适用于分子、分母的根指数不相同的极限类型）特别地有：
limx?1x?1nmlkx?1?ml m、n、k、l 为正整数。 nk例：求下列函数极限 ① limx?11?nx1?mx(m 、n ?N) ②lim(x??2x?3x?1) 2x?1 解: ①令 t=mnx 则当x?1 时 t?1,于是
1?tm(1?t)(1?t?t2????tm?1)m?lim? 原式=limt?11?tnt?1(1?t)(1?t?t2????tn?1)n2x?3x?12x?1)=lim(1?)
x??2x?1x??2x?12x?1111令：? 则 x?1??
2tt2②由于lim(?2x?3x?12x?1t2)=lim(1?)=lim(1?t) ?lim(t?0x??2x?1x??2x?11t1211(1?t)?lim(1?t)?e?1?e =limt?0t?09、 利用函数极限的存在性定理
定理: 设在x0的某空心邻域内恒有 g(x)≤f(x)≤h(x) 且有:
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g(x)?limh(x)?A xlim?xx?x00f(x) 存在, 且有 则极限 xlim?x0f(x)?A xlim?x0xn例: 求 limx (a>1,n>0)
x???a解: 当 x≥1 时,存在唯一的正整数k,使 k ≤x≤k+1 于是当 n>0 时有:
xn(k?1)n x?
aakxnknkn1及 x?k?1?k?
aaaa又? 当x???时,k??? 有
(k?1)n(k?1)n?lim?a?0?a?0 klim???k???akak?1knkn11lim??0??0 及 klim ?k???ak???ak?1aa?
xnlim=0 x???ax10、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。
f(x)存在且等于A的充分必要条件是左极限定理：函数极限xlim?x0?x?x0limf(x)及右极限lim?f(x)都存在且都等于A。即有：
x?x0x?x0x?x0x?x0limf(x)?A?lim?f(x)=lim?f(x)=A
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??1?2e?x,x?0例：设f(x)=??x?x,0?x?1 求lim?xx?0f(x)及limx?1f(x) ??x2,x?1解：?xlim?0?f(x)?xlim?0?(1?2e?x)??1
xlim?0?f(x)?x?xxlim?0?(x)?xlim?0?(x?1)??1由limx?0?f(x)?lim?0?f(x)??1x
?limx?0f(x)??1
又?limx?xx?1?f(x)?xlim?1?x?limx?1（?x?1)?0 limx?1?f(x)?limx?1?x2?1 由f(1?0)?f(1?0)?limx?1f(x)不存在11、利用拉格朗日中值定理 定理:若函数f满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导 则在(a ,b)内至少存在一点?,使得
f'(?)?f(b)?f(a)b?a
此式变形可为:
f(b)?f(a)b?a?f'(a??(b?a)) (0???1)
例: 求 exlim?esinxx?0x?sinx 解:令f(x)?ex 对它应用中值定理得
ex?esinx?f(x)?f(sinx)?(x?sinx)f'(sinx??(x?sinx)) (0???1) :
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即9
ex?esinx?f'(sinx??(x?sinx)) (0???1)
x?sinx?f'(x)?ex连续
?limf'(sinx??(x?sinx))?f'(0)?1
x?0ex?esinx从而有: lim?1 x?0x?sinx现在我从另一角度对上述没有提及的几种重要方法作出归类总结。在此约定极限符号下面没有标明极限过程，是指对任一种极限过程均成立，但同一式中所有极限过程是对自变量的同一变化过程而言。
二、求函数极限的一些技巧及特殊求法
㈠运用化简原则，简化极限运算过程
⒈部分乘积因式的极限为非零常数时即可立即运用乘积极限的运算法则提出；及时利用因式分解、三角公式恒等变形化简；及时运用连续函数性质。对于n个存在极限函数，作积或和求取极限。我们可以试着摆脱常规作法（先作极限在求积或和），而是先对函数化简，再求极限。
?lim?cos?cos如：求极限lim?x?0n?????x2xx??…cos? 222n???解：由于
xxxcos?cos2…cosn2221xxxx?cos?cos2…cosn?sinnx2222sinn21xxxx?cos?cos2…cosn?sinn?1x22222sinn2 1xxxx1?cos?cos2…cosn?2?sinn?2?…??sinxxx22222n2sinn2sinn22xxx1sinx?limcos?cos2…cosn?lim?sinx?n??n??nx222x2sinn2?xxx??sinx??lim?lim?cos?cos2…cosn???lim?1x?0n??x?0222x???? 9