a?ln2?0.58 1.210K??0?1200rmin?20r/s ak?a?00.58?20??1.16 1010电机传递函数为：G(s)??(s)K1.16 ??V(s)s(s?a)s(s?0.58)3.8.系统的特征方程式如下，要求利用劳斯判据判定每个系统的稳定性，并确定在右半s平面其根的个数及纯虚根。?
(1) s?3s?3s?2s?2?0 (2) 0.02s3?0.3s2?s?20?0
(3) s5?2s4?2s3?44s2?11s?10?0 (4) 0.1s4?1.25s3?2.6s2?26s?25?0 答案：
（1）劳斯表如下：
432s4s3s2s1s01373?4723222
劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定 （2）劳斯表如下：
s3s2s1s00.020.3?1320120
劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定 （3）劳斯表如下：
16
s5s4s3s212?20223523385102610114410
s1s0劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定 （4）劳斯表如下：
s4s3s2s1s00.11.250.522.6252625
劳斯表第一列元素符号没有变化，所以系统有两个正根，系统稳定
3.9.有一控制系统如图3.39所示，其中控制对象的传递函数是
1 G(s)?
s(0.1s?1)(0.2s?1)采用比例控制器，比例增益为Kp ，试利用劳斯判据确定Kp值的范围。
?
图3.39 习题3.9图
解：G(s)?Kps(0.1s?1)(0.2s?1)3
2特征方程为：D(s)?0.002s?0.3s?s?Kp?0 劳斯表如下：
s3s2ss
100.0020.30.3?0.002Kp0.3Kp17
1Kp
?0.3?0.002Kp??0要使系统稳定只需?，解得 0?Kp?150。 0.3?Kp?0?3.10.某控制系统的开环传递函数为 G(s)H(s)?K(s?1)
s(Ts?1)(2s?1)试确定能使闭环系统稳定的参数K、T的取值范围。 解：由系统开环传函可知
D(s)?s(Ts?1)(2s?1)?K(s?1)?2Ts?(2?T)s?(K?1)s?K?0劳斯表如下：
32
s3s2s1s02T2?T2K?(1?K)T?22?TKK?1K
由劳斯准则可知，欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变。若第一列元素均大于0，即
T?0??2?T?0? ?2K?(1?K)T?2?0??K?0?解得
K?0，2(K?1)?(K?1)T
2(K?1)，当0?K?1时,T?0。
K?1当K>1时0?T? ?3.11.设单位反馈系统的开环传递函数分别为 K*(s?1)? (1) G(s)?
s(s?1)(s?5)K* (2) G(s)?
s(s?1)(s?5)试确定使闭环系统稳定的开环增益Ｋ的取值范围（注意K≠K*?）
18
解：(1) D(s)?0.2s?0.8s?(K?1)s?K?0
32s3劳斯表如下：
0.20.83K?44KK?1K0
s2s1s0解得：使闭环系统稳定的开环增益Ｋ的取值范围K?(2) D(s)?0.2s?0.8s?s?K?0
324。 3由于特征方程出现小于零的系数，可知无论开环增益Ｋ取何值闭环系统都不稳定。 ? 3.12.设单位反馈系统的开环传递函数为
K G(s)?
s(1?s/3)(1?s/6)若要求闭环特征方程的根的实部均小于-１，问Ｋ值应取在什么范围?如果要求实部均小于?2，情况又如何?
解：由反馈系统的开环传函
G(s)?K18K ?sss(s?3)(s?6)s(1?)(1?)36D(s)?s3?9s2?18s?18K?0
（1）令s?z?1,得：劳斯表如下：
D(z)?(z?1)3?9(z?1)2?18(z?1)?18K?z?6z?3z?18K?10?032
z3z2z1z013618K?10 28?18K618K?10欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变，大于零：
?28?18K?0514得 ?K??99?18K?10?0
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（2）令s?z?2,得：
D(z)?(z?2)3?9(z?2)2?18(z?2)?18K?z?3z?6z?18K?8?032
如果要求实部均小于?2，由特征方程可见，a2??6?0，系统稳定的必要条件不成立，无论K取何值，系统都不稳定。
3.13.单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?4s(s?2s?2)2
(1) 求系统的单位阶跃响应；
? (2) 输入信号为r(t) =1(t)，求系统的误差函数e(t)； 解：（1） 开环传递函数G(s)?4
s(s2?2s?2)44? 22s(s?2s?2)?4(s?2)(s?2)闭环传递函数 W(s)?单位阶跃响应
C(s)?K2s?K3K141K0 ????ss?2(s2?2)(s?2)ss2?21K0?1，K1??
32K2?K3??
3112s?11112s22 C(s)??3????????ss?23s2?2s3s?23s2?23s2?2?122c(t)?1?e?2t?cos2t?sin2t
333 （2）不考虑扰动作用
r(t)?1(t) G(s)?2 2s(0.5s?s?1) 20