K(s?1)，试按根轨迹规则画出该系统的根轨
s(s?1)迹图，并确定使系统处于稳定时的K值范围。
解：分离点：0.414；会合点：-2.414 ；与虚轴交点：±j。稳定的K值范围：K>1。 根轨迹如习题4-3答案图所示。
4-3 已知系统的开环传递函数G(s)H(s)?
习题4-3答案图
4-4已知一单位反馈系统的开环传递函数为
G(s)?K*(s?1)(s?1)(s?4)2
（1）试粗略画出K*由0到∞的根轨迹图；（2）分析该系统的稳定性。 解：稳定性分析：系统不稳定。根轨迹如习题4-4答案图所示。
Root Locus8642Imaginary Axis0-2-4-6-8-10-5Real Axis05
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习题4-4答案图
4-5 设控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)?K*(s?1)s(s?1)(s?4s?16)2，试绘制系统根轨
迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。
解：渐近线：??=?60°，180°；??=-2/3；复数极点出射角?55°；分离会合点0.46和-2.22；与虚轴交点1.57和2.56；使系统稳定的开环增益为1.46 ＜K＜2.23 (即23.4 ＜K*＜35.7)。
习题4-5答案图
4-6 已知系统的特征方程为
(s?1)(s?3)(s?1)(s?3)?K(s2?4)?0
试概略绘出K由0→∞时的根轨迹（计算出必要的特征参数）。
解：渐近线：??=?90°，??=0；分离点?2，相应K=1.88；会合点?j3.46，相应K=34.14；复数零点入射角?90°；无论K为何值系统均不稳定。
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习题4-6答案图
4-7反馈系统的特征方程为
s4?3s3?12s2?(K?160)s?K?0
作出0< K <∞的根轨迹，并求出系统稳定时所对应的K值范围。
解：渐近线：??=?60°，180°；??=-2/3；复数极点出射角 ?63°；分离点：1.6 ，会合点：-3.43。由图可知系统在任何K 值下都是不稳定的。
习题4-7答案图
4-8 已知闭环系统的特征方程为s2(s?a)?K(s?1)?0。
(1)画出a =10时的根轨迹，并说明系统的过渡过程为单调变化和阻尼振荡时K的取值范围；
(2)确定根轨迹具有一个非零分离点的a值，并画出相应的根轨迹；
(3)在(2)中确定的a值下，求闭环传递函数具有二重极点时所对应的K值；
(4)画出a =5时的根轨迹。当K =12时，已知一个闭环极点为?s1= ?2，问该系统能否等效为一个二阶系统？
解：（1）渐近线：??=?90°，??=-4.5；会合点：-2.5，分离点：-4。阻尼振荡时K的取值范围为（0，31.3）（32，∞），呈单调变化时K的取值范围为（31.3，32）。
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习题4-8（1）答案图
（2）具有一个非零分离点的a=9。
习题4-8（2）答案图
（3）a =9时，闭环二重极点s1,2=-3对应的K=27。 （4）渐近线：??=?90°，??=-2；不能等效。 画出a =5时的根轨迹。
Root Locus5432Imaginary Axis10-1-2-3-4-5-5-4.5-4-3.5-3-2.5Real Axis-2-1.5-1-0.50
习题4-8（4）答案图
4-9设单位反馈系统的开环传递函数为
K
s(s?a)试绘出K和a从零变到无穷大时的根轨迹簇；当K = 4时，绘出以a为参变量的根轨迹。
解：令a =0 绘制K为参变量的根轨迹如习题4-9答案图之一所示。
G(s)? 29
习题4-9答案图之一
当K取不同值时，绘出a变化的根轨迹簇如习题4-9答案图之二所示。当K = 4时，画a 从零到无穷大时的根轨迹如图中粗线示。
习题4-9答案图之二
4-10设单位反馈系统的开环传递函数为
K
s(s?1)(T?s?1)其中开环增益K可自行选定，试分析时间常数Ta对系统性能的影响。
解：重做该题。等效开环传递函数
T?s2(s?1)'?G(s)??2s?s?K
当K?????时，? G(s)? ’具有实数极点。取任何正实数Ta系统都是稳定的。选择K=0.1画根轨迹如习题?-??答案图之一所示。?
G(s)? 30