回归课本的100个数学问题6 不等式
1、均值不等式
①a2?b2?2ab并且当且仅当a?b，取得等号。 证明：(a?b)2?0?a2?2ab?b2?0?a2?b2?2ab
并且当且仅当a?b，取得等号。 注：这个不等式是无条件成立的。 ②若a,b?0，则a?b?2ab 令a,b?0，则由前面的不等式，有a?b?(a)2?(b)2?2ab?2ab， 即
a?b?ab。并且当且仅当a?b，即a?b取得等号。 2a?b我们将称为代数平均值，ab称为几何平均值。那么，这个不等式的
2意义是：两非负数代数平均值不小于几何平均值，而且当且仅当两数相等时，两平均值相等。
我们将这个不等式称为均值不等式，或者基本不等式。注意，它是对a,b?0才成立的。
③一般的均值不等式
a?a?......?an1n假设ai?0，An??ak?12，Gn?nk?1nn?ak?1ni，则An?Gn。并
且当且仅当a1?a2?...?an时，An?Gn。 证明：先假设ai?0，?i?N?。
当n?1时，结论显然成立。
假设当n?k时，结论成立。即Ak?Gk，且当且仅当a1?a2?...?an时，结论成立。当n?k?1时，
1
(k?1)Ak?1?(k?1)Ak?1(k?1)Ak?1?a1?a2?...?ak?ak?1?2k2k(k?1)Ak?1?ak?1a1?a2?...?ak1(k?1)Ak?1?ak?1a1?a2?...?ak ?[?]?2kkkkAk?1? ?k?1kAkk?1ak?1a1a2......ak?12kk?1k这样，Ak2?1?kAkk?1ak?1a1a2......ak，Ak?1?Ak?1ak?1a1a2......ak，
?1k?1aa......aa Akk?。 1?a1a2......akak?1，Ak?1?12kk?1?Gk?1 从上面的证明以及n?k时不等式取等号的条件，要使得Ak?1?Gk?1，必须
?(k?1)Ak?1?ak?1a1?a2?...?ak??kk? ?Ak?1?ak?1
?a?a?......?a2k?1?这样，易得
a1?a2?...?ak?ak?1
即n?k?1时，结论也成立，故结论对任意n?N?总成立。
若有i，使得ai?0。则An?Gn?0。为了An?Gn?0，只能a1?a2?...?an?0。 综上所述，结论对任意n?N?均成立。这就是一般的均值不等式！ 2、极值定理
假设a,b均为非负数。
问题1：若a?b?p，p为非负定常数，那么ab最大值为多少？何时取得？
a?b2(a?b)212)??p 解答：ab?(ab)?(2442 当且仅当a?b?1p时取得最大值。 2简记：和定积最大。一般的表述是这样的：设ai?0，i?1,2,...,n。
2
np1np若?ai?p为非负常数，则当a1?a2?...?an??ai?时，为()n ai最大，?nni?1ni?1i?1n问题2：若ab?p，p为非负定常数，那么a?b最小值为多少？何时取得？
解答：a?b?2ab?2p 当且仅当a?b?p时取得最小值。
简记：积定和最小。一般的表述是这样的：设ai?0，i?1,2,...,n。
若?ai?p为非负常数，则当a1?a2?...?an?np时，?ai最小，为nnp。
i?1i?1nn我们归纳为一句话：积定和最小，和定积最大。 例1、①函数y?4x?91(x?)的最小值 。（答：8） 2?4x2②若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______（答：22） ③正数x,y满足x?2y?1，则解答：①x?11?的最小值为______（答：3?22） xy1，于是4x?2?0， 2999y?4x??4x??(4x?2)??2?6?2?8，
2?4x4x?24x?295当且仅当4x?2?，即4x?2?3，x?时，取得最小。
4x?242②2x?4y?21?2y?4y?y?4y?22，
4211当且仅当y?4y，即42y?24y?2，即y?，x?，达到最小，为22。
4421111x2yx2y?2?3???3?22， ③??(?)(x?2y)?1??xyxyyxyx当且仅当
x2y?，x?2y，x?2y?2y?2y?(2?2)y?1， yxy?2(2?2)22?212?2??2?1时，达到最小，为 ，x?2y??2222?23?22。
3
更一般的问题：设a1,a2,a3,a4,a5为正常数，x?0，y?0，满足a1x?a2y?a3，求
a4a5aa?的最小值。我们都可以用4?5乘以a1x?a2y。 xyxyaaxaaya4a5?)(a1x?a2y)?a1a4?a2a5?15?24?a1a4?a2a5?2a1a2a4a5 xyyx (3、一元二次不等式的求解
求解一元二次不等式ax2?bx?c?0，ax2?bx?c?0，ax2?bx?c?0，
ax2?bx?c?0。
当a?0时，可以在不等式前面乘上-1，a变为?a，不等式方向也跟着改变。因此，只需要讨论a?0的情形。
①若??0，则ax2?bx?c?0恒成立。这样，不等式ax2?bx?c?0和
ax2?bx?c?0解集均为?，而ax2?bx?c?0，ax2?bx?c?0解集均为R。 b，ax2?bx?c?0也恒成立。2ab这样，不等式ax2?bx?c?0解集为R，ax2?bx?c?0解集为{x|x??}，
2abax2?bx?c?0解集为?，ax2?bx?c?0解集为{x|x??}。
2ax2?bx?c?0恒成立，②若??0，则a而除去x??③若??0，则ax2?bx?c?0有两不相等实根，设为x1和x2，x1?x2。则
b?x?x???b??a(x1?x2)??12a ?
c?xx??c?axx1212?a?则
ax2?bx?c?ax2?a(x1?x2)x?ax1x2?a[x2?(x1?x2)x?x1x2]?a(x?x1)(x?x2) 解不等式ax2?bx?c?0
?x?x1?0?x?x1?0ax2?bx?c?0?a(x?x1)(x?x2)?0??或??x?x2?0?x?x2?0
?x?x1?x?x1 ??或??x?x2或x?x1x?xx?x?2?2
4
类似的，不等式ax2?bx?c?0解集为{x|x?x1或x?x2}。 解不等式ax2?bx?c?0
?x?x1?0?x?x1?0ax2?bx?c?0?a(x?x1)(x?x2)?0??或??x?x2?0?x?x2?0
x?xx?x??11 ??或??x1?x?x2或x?x1且x?x2?x1?x?x2x?xx?x?2?2类似的，不等式ax2?bx?c?0解集为{x|x1?x?x2}。
我们将结果归纳为：大于分两头，小于夹中间。 例2、解不等式3x2?10x?6?0。(答：(??,5?75?7)?(,??)) 33解答：3x2?10x?6?0两根为x1?5?75?7，x2?。这样，不等式解集为 33 (??,5?75?7)?(,??) 3313?x?) 2213?x? 22例3、解不等式?4x2?8x?3?0。(答：
解答：?4x2?8x?3?0?4x2?8x?3?0?(2x?3)(2x?1)?0?4、高次不等式的求解
假设不等式已化为形式：(x?x1)k1(x?x2)k2......(x?xn)kn?0(?0,?0,?0)，ki?1
x1?x2?...?xn。 求解它的方法和求解一元二次不等式的方法一样，是零点分界法。令
f(x)?(x?x1)k1(x?x2)k2......(x?xn)kn
当x?x1，若k1?k2?...?kn为偶数，则f(x)?0，若k1?k2?...?kn为奇数，则
f(x)?0。
当x1?x?x2，若k2?k3?......?kn为偶数，则f(x)?0，若k2?k3?......?kn为奇数，则f(x)?0。可见，若k1为偶数，则f(x)在(??,x1)和(x1,x2)符号不变。若k1为奇数，则f(x)在(??,x1)和(x1,x2)符号变化。
5