并且当且仅当a?b时，取等号。证毕！
从证明过程中可以看出，这几个不等式的本质是一样的，其实都是均值不等式的一种变形而已。
22我们称a?b为a,b的平方平均值，a?b为a,b的代数平均值，ab为a,b22的几何平均值，
2为a,b的调和平均值。不等式的意义就是： 1?1ab平方平均值?代数平均值?几何平均值?调和平均值 并且当且仅当a?b时，平均值中任何两个相等。 这个不等式的一般情形是：
2若ai?0，i?1,2,...,n，则1?ak?1?ak?n?ak?nk?1nk?1k?1nnn1?ak?1nnk
并且当且仅当a1?a2?...?an，不等式取等号。
证明：1?ak?n?ak为均值不等式，已证明过，并且当且仅当a1?a2?...?annk?1k?1时，取等号。
nn于是，
1?ak?1nkn?n?1?ak?1kn1n?ak?1n，即
kn?ak?1nk?1?ak?1n1k?1?ak?1nnk，并且当且仅当
n111??...?，即a1?a2?...?an时，取等号。 a1a2an
(1?ak)2?nk?1n?ak?1n2k?1?p?q?n2?2apaq??ak?1n2k?n1?p?q?n2?n(a?a)?2p2q?a??(a2kk?1p?q2n2p?a)?2qn?ak?12n2knn??ak?1n2kn2 1?ak?1?ak nk?1nk?1nn并且当且仅当ap?aq,1?p?q?n时，即a1?a2?...?an时，取等号。证毕！
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③a,b,c?R，a2?b2?c2?ab?bc?ca，并且当且仅当a?b?c时，取等号。 证明：a2?b2?2ab，b2?c2?2bc，c2?a2?2ca 三个不等式相加，得到
(a2?b2)?(b2?c2)?(c2?a2)?2(a2?b2?c2)?2ab?2bc?2ca
即a2?b2?c2?ab?bc?ca
b2?c2?2bc，c2?a2?2ca时，并且当且仅当a2?b2?2ab，即a?b,b?c,c?a时，
即a?b?c时，取等号。 ④若a?b?0,m?0，则
bb?m?。 aa?m 这个不等式来源于糖水浓度问题。其意义是往糖水中加糖，尽管糖水的量也跟着增加，但糖水浓度还是提高了，也就是糖水更甜了。这是很显然的。 证明：
bb?m??b(a?m)?a(b?m)?ba?bm?ab?am?bm?am?b?a aa?m 另一个类似的不等式是： 若a?b?0，m?0，则证明：
aa?m?。 bb?maa?m??a(b?m)?b(a?m)?ab?am?ba?bm?am?bm?a?b bb?m34910例如：?，?等等。
458910、不等式证明中一些常用的放缩技巧 ①k?1?k?1k?1?k?12k
②
11111111??????；，放缩程度大。 22k(k?1)k?1kk(k?1)kk?1kk111111???(?)，放缩程度小。 22(k?1)(k?1)2k?1k?1kk?1?③
例10、证明：?n?N，?1?2。 2kk?1n证明：当n?1时，左边?1?2,自然成立。 当n?2时，
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nn11111111111?1??2?1???1?(1?)?(?)?......?(?)?(?)?2??2 ?2223n?2n?1n?1nnk?1kk?2kk?2k(k?1)n11、不等式证明中常用的的换元法
常用的换元有三角换元和代数换元。 ①已知x2?y2?a2，可设x?acos?,y?asin?。
②已知x2?y2?1，可设x?rcos?,y?rsin?(0?r?1)。
x2y2③已知2?2?1，可设x?acos?,y?bsin?。
abx2y2④已知2?2?1，可设x?asec?,y?btan?。
ab12、经典不等式 ①均值不等式
n1n 假设ai?0，n?N，则?ai?n?ai。并且当且仅当a1?a2?...?an时，取
ni?1i?1?得等号。 ②排序不等式
假设n?N?,a1?a2?...?an，b1?b2?...?bn，则 ?aibn?1?i??aibki??aibi
i?1i?1i?1nnn并且当且仅当a1?a2?...?an或b1?b2?...?bn时，逆序和和顺序和相等。
?abi?1nin?1?i?a1bn?a2bn?1?...?anb1称为逆序和，
nk1,k2,...,kn为1,2,...,n的一个排列，?aibki?a1bk1?a2bk2?...?anbkn称为乱序和，
i?1?ab?ab?abii11i?1n22?...?anbn称为顺序和(正序和)。
kk证明：设k1,k2,...,kn为1,2,...,n的一个排列，记Tk??bi，这样， Tk???bki。Tk??Tk，
i?1i?1 13
Tn?Tn?。补充规定T0?T0??0。这样，
?nnnnnn?1aibk?Ti??1)?i?1i?ai(Ti???aiTi???aiTi??1?1?aiTi??i?1?ai?1Ti?i?1i?1i?i?0nn?1n?1n?1
??aiTi???ai?1Ti??anTn???1)Tii?1i?1?(ai?ai?1)Ti??anTn?i?1?(ai?aii?1同样，
?nnnnnn?1aibi??ai(Ti?Ti?1)?i?1i?1?aiTi??aiTi?1??aiTi??1i?1i?1?ai?1Tiii?0nn?1n?1
??aiTi?i?1?ai?1Ti?anTn?i?1?(ai?ai?1)Tii?1nn于是，?aibki??aibi。这样，就证明了后一个不等式。
i?1i?1由于b1?b2?...?bn，故?bn??bn?1?...??b1，再用后一个不等式，得到?nnai(?bk)??i)
i?1i?ai(?bn?1i?1nnnn即??aibki???aibn?1?i，即?aibki??aibn?1?i。
i?1i?1i?1i?1nnn这样，我们就得到：?aibn?1?i??aibki??aibi。
i?1i?1i?1下面证明逆序和和顺序和相等的充分必要条件。 充分性显然。 必要性
nnn?1n?1假设?aibn?1?i??aibi，则?(ai?ai?1)Ti??(ai?ai?1)Ti?，即
i?1i?1i?1i?1?n?1(ai?ai?1)(Ti?Ti?)?0。由于a1?a2?...?an，Tk??Tk,?1?k?n，故
i?1 (ai?ai?1)(Ti?Ti?)?0，i?1,2,...,n?1
若不满足a1?a2?...?an，则存在一个i0，1?i0?n?1，ai0?ai0?1，于是 Ti0?Ti0?
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即
b1?b2?...?bi0?bn?bn?1?...?bn?i0?1
由于b1?b2?...?bn
?bn?bi0??bn?1?bi0?1??bn?2?bi0?2 ??..................?bn?i?1?b1?0这样，
?bi0?bi0?1?bi0?2?...?bn??bi0?1?bi0?bi0?1?...?bn?1??bi0?2?bi0?1?bi0?...?bn?2 ??.......................................?b1?b2?b3?..........?bn?i?10?这样，b1?b2?...?bn。这样，我们便完成了证明。
??0，Ti?Ti?，i?1,2,..,n?1，这样，假设a1?a2?...?an，则(ai?ai?1)(Ti?Ti)
bki?Ti??Ti??1?Ti?Ti?1?bi。假设
b1?b2?...?bn1?bn1?1?...?bn1?n2?...?bn1?n2?...?ns?1?1?...?bn1?n2?...?ns?1?ns ， 其中，n1?n2?...?ns?n。这样，?aibki??aibi当且仅当k1,k2,..,kn1为1,2,..,n1的
i?1i?1nn一个排列，kn1?1,kn1?2,..,kn1?n2为n1,n1?1,...,n1?n2的一个排列，kn1?n2?...?ns?1?1，…，
kn1?n2?...?ns?1?ns为n1?n2?...?ns?1?1，……，n1?n2?...?ns?1?ns的一个排列。特别地，若n1?n2?...?ns?1，即b1?b2?...?bn时，乱序和是不可能等于顺序和的，除非是顺序和本身。
我们在证明过程中运用了一个变换公式，我们称其为阿贝尔变换。这在数学的很多其它领域也有重要应用。
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