?ab?aT??(a?aiinnii?1i?1nn?1i?1)Ti-----------------------阿贝尔变换
我们可以用排序不等式证明很多不等式。 例11、假设a,b,c?0，证明不等式：
a?b?c时，取等号。
abc3???，并且当且仅当 b?ca?ca?b2证明：不妨假设a?b?c，则a?b?a?c?b?c，则由排序不等式
111??。 b?ca?ca?babcbca????? b?ca?ca?bb?ca?ca?babccab????? b?ca?ca?bb?ca?ca?b
这样，
2(abccabbcab?ca?ca?b??)?(??)?(??)????3b?ca?ca?bb?ca?ca?bb?ca?ca?bb?ca?ca?bb?ca?ca?b2故a?b?c?3。
若a?b?c，则上述两个不等式都不可能取等号。 若a?b?c，则
abcaac2ac2aa3?????????? b?ca?ca?ba?ca?c2aa?c2aa?a2a2若a?b?c，则
abca2ba?b2b113????????2?? b?ca?ca?b2ba?b2ba?b222a?b2babc3????。 但不可能有，因为a?b，于是2ba?bb?ca?ca?b2abc3???。于是，取等号的充要条这样，只要不满足a?b?c，则
b?ca?ca?b2件是a?b?c。
例12、证明：a2?b2?c2?ab?bc?ca，且当且仅当a?b?c时，取等号。 证明：不妨设a?b?c，则由排序不等式 a2?b2?c2?ab?bc?ca 若a?b?c，不可能取等号。
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若a?b?c，则a2?b2?c2?2a2?c2，ab?bc?ca?a2?2ac，
a2?b2?c2?(ab?bc?ca)?2a2?c2?(a2?2ac)?a2?2ac?c2?(a?c)2?0 若a?b?c，则a2?b2?c2?a2?2b2，ab?bc?ca?2ab?b2，
a2?b2?c2?(ab?bc?ca)?a2?2b2?(2ab?b2)?a2?2ab?b2?(a?b)2?0 于是，只有a?b?c时，取等号。 ③柯西不等式
假设n?N,ai,bi?R，则(?aibi)??a?n2n2ii?1i?1?bi?1n2i。并且当且仅当
ai?0,?1?i?n或者存在?，使得bi??ai，i?1,2,...,n时，不等式取等号。 也就是说，存在?，使得bi??ai，i?1,2,...,n或者ai??bi，i?1,2,...,n。
证明是构造性的，很巧妙。 证明：(a1x?b1)2?a12x2?2a1b1x?b12?0，
222 (a2x?b2)2?a2x?2a2b2x?b2?0， 222 (a3x?b3)2?a3x?2a3b3x?b3?0，
……………………………………
222 (anx?bn)2?anx?2anbnx?bn?0
把上述不等式相加，得到
(?a)x?2(?aibi)x??bi2?0
2i2i?1i?1i?1nnn上述不等式恒成立。
若?ai2?0，则ai?0，?1?i?n，不等式自然成立。
i?1nn若?a?0，上述不等式恒成立，必须：??[?2(?aibi)]?4(?b)(?ai2)?0
2i22ii?1i?1i?1i?1nnn即(?aibi)?(?b)(?ai2)。
22ii?1i?1i?1nnn 17
显然，上述不等式要取等号，必须参与相加的每个不等式都取等号，即存在一个
?，使得(ai??bi)2?0，即bi??ai，i?1,2,...,n。
两种情况综合，即存在?，使得bi??ai，i?1,2,...,n或ai??bi，i?1,2,...,n。 推论：假设n?N?,yi,ai?R,yi?0，i?1,2,...,n。则
(?ai)2i?1nn ?i?1na?yi2i
?yi?1i并且当且仅当存在?，使得ai??yi，i?1,2,..,n时，取得等号。 证明：由柯西不等式， (?ai)?(?2i?1i?1nnaiyiai2nyi)?(?)(?yi)
i?1yii?12n即
a??i?1yin2i(?ai)2i?1nn
?yi?1i并且当且仅当存在一个?，使得 ai??yi，即ai??yi yi时，不等式取得等号。 ④琴生不等式
讲琴生不等式之前，先讲述什么叫下凸函数，上凸函数。 i、凸集合
假设D为一个数集(点集)，若对任意x1,x2?D以及??[0,1]，则
?x1?(1??)x2?D，则称D为凸集。(即集合中任意两点所连线段也在该集合中)
ii、下凸函数
若D(f)为凸集，且对任意x1,x2?D(f)以及??[0,1]，有
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f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2) 则称函数f为下凸函数，也叫凸函数。 若只要x1?x2，??(0,1)，有
f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2) 则称函数f为严格下凸函数，或者严格凸函数。 从图像上看，下凸函数的弦在弧上。如下图：
1412f(x) = 2.71x108642 10551015202 图5
16141210y = x8642 图6
iii、上凸函数
若D(f)为凸集，且对任意x1,x2?D(f)以及??[0,1]，有 f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2) 则称函数f为上凸函数，也叫凹函数。 若只要x1?x2，??(0,1)，有
f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2) 则称函数f为严格上凸函数，或者严格凹函数。
从图像上看，上凸函数的弧在弦上。如下图：
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y = (1 x?x)0.51.210.80.60.40.22.521.510.50.20.511.522.50.40.60.811.21.41.6 图7
1086421055101520246 图8 iv、凸集的一个性质 为了证明下面的琴生不等式，我们还必须研究凸集合的一个性质。 设D为凸集，n?N?,x1,x2,..,xn?D,则
x1?x2?...?xn?D。
n1k证明：当n?1时，结论成立。假设n?k时，结论成立。即?xi?D(f)。
ki?1当n?k?1时，
x1?x2?...?xk?xk?1x1?x2?...?xk?xk?1kx1?x2?...?xk1k???xk?1
k?1k?1k?1kk?1k?(0,1)，由凸集定义和归纳假设，有 由于x1,x2,..,xk,xk?1?D，
k?1x1?x2?...?xk?xk?1?D
k?1kiv、琴生不等式
1n1n假设f为下凸函数，n?N，x1,x2,...,xn?D(f)，则f(?xk)??f(xk)。
nk?1nk?1?特别地，若f为严格下凸函数，则当且仅当x1?x2?...?xn时，取得等号。
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