当x2?x?x3，若k3?k4?...?kn为偶数，则f(x)?0，若k3?k4?...?kn为奇数，则f(x)?0。可见，若k2为偶数，则f(x)在(x1,x2)和(x2,x3)符号不变。若k2为奇数，则f(x)在(x1,x2)和(x2,x3)符号变化。 依次类推，可以讨论f(x)在各个区间的符号。 我们将规则归纳为一句简单的话：奇穿偶回。
解题过程中只要将各个区间函数值符号标号，就能顺利解出不等式解集。例4、解不等式(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)(x?5)?0。 解答：如图1
12345
图1 不等式解集为：(1,2)?(3,4)?(5,??)。
例5、解不等式x2(x?1)3(x?2)2(x?3)5(x?4)2?0。 解答：如图2
01234
图2 不等式解集为：[1,3]。 5、分式不等式
x?x1x?x?0(?0,?0,?0)的解。 2不妨设x1?x2。同样用零点分界法，我们易得：
x?x1x?x?0?x?xx?x11,x?x2；?0?x?x1,x?x2 2x?x2x?x1x?x?0?xx?x11?x?x2；?0?x1?x?x2 2x?x2
6
6、分式不等式
f(x)>a,(a 0)的g(x)
x2?3x?3例6、求解不等式2?1。
x?4x?3解答：如图3
x2?3x?3x2?3x?3x2?3x?3?(x2?4x?3)7x?67x?6?1??1?0????02222x?4x?3x?4x?3x?4x?3x?4x?3(x?1)(x?3)6/713
图3
6不等式解集为(,1)?(3,??)。
7
3x2?3x?5?x?1。 例7、求解不等式
x解答：
3x2?3x?53x2?3x?53x2?3x?5?x(x?1)2x2?4x?5?x?1??(x?1)?0???0xxxx由于(?4)2?4?2?5??24?0，2x2?4x?5?0恒成立。于是，不等式解为(0,??)
1?4。 x例8、求解不等式x?1x2?1x2?4x?1?4?0??0 解答：x??4?xxx 7
x2?4x?1?0两根为x1?2?3，x2?2?3。
如图4
02-sqrt(3)2+sqrt(3)
图4
不等式解集为(0,2?3)?(2?3,??)。 7、解绝对值不等式
①几何法(图像法)；②定义法(零点分段法)；③两边平方④公式法： |f(x)|?g(x)?f(x)??g(x)或f(x)?g(x) |f(x)|?g(x)??g(x)?f(x)?g(x) 例9、求解不等式|x?2|?|3x?6|?9 解答：用定义法(零点分段法) (1)若x??2，则
|x?2|?|3x?6|??x?2?3x?6??4x?4?9?x??54，于是，x??2。 (2)若?2?x?2,则
|x?2|?|3x?6|?x?2?3x?6??2x?8?9?x??12，
于是，?2?x??12。
(3)若x?2，则
|x?2|?|3x?6|?x?2?3x?6?4x?4?9?x?134 于是，x?134。
8
113这样，我们便求得不等式解集为(??,?]?[,??)。
248、两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”，即a?b?0?1111?， a?b?0??。 abab事实上，a?b?0?ab11ab11??0???0，a?b?0???0???0 ababbaababba9、常用的几个不等式
①绝对值不等式：a?b?a?b?a?b，而且前后两不等式必然有一个取等号。 证明：
a?b?a?b?a?b?a?b?a?b?(a?b)2 ?|a|2?2|a||b|?|b|2?a2?2ab?b2?|a|2?2|a||b|?|b|2
??|a||b|??ab?|a||b|22显然成立。并且由于不等式?|a||b|??ab?|a||b|中前后两个必然有一个取等号，因此，原不等式中前后两个必然有一个取等号。
不等式a?b?a?b?a?b??|a||b|?ab?|a||b|中，当?|a||b|?ab时，即ab?0时，前一个取等号，当|a||b|?ab时，即ab?0时，后一个不等式取等号。
不等式a?b?a?b?a?b??|a||b|??ab?|a||b|中，当?|a||b|??ab时，即ab?0时，前一个取等号，当|a||b|??ab时，即ab?0时，后一个不等式取等号。
绝对值不等式的一般情形是：|?ak|??|ak|，n?N?，ai?R，并且当且
k?1k?1nn仅当ak,k?1,2,3......,n或同号，或为0时，取等号。 证明：
|?ak|??|ak|?|?ak|?(?|ak|)??a?2222kk?1k?1k?1k?1k?1nnnnn1?p?q?n?apaq??ak2?2k?1n1?p?q?n?|ap||aq| ?
1?p?q?n?apaq?1?p?q?n?
|ap||aq|9
不等式显然成立，并且当且仅当apaq?|apaq|，?1?p?q?n，即apaq?0时，不等式取得等号。即a1,a2,......,an或为0，或同号。
复数意义下的绝对值不等式：|?ak|??|ak|，n?N?，ai?C，并且当且
k?1k?1nn仅当ak,k?1,2,3......,n或为0，或幅角相同时，取等号。这里，复数的绝对值应该理解为复数的模。 证明：
|?ak|??|ak|?|?ak|?(?|ak|)??a?222kk?1k?1k?1k?1k?1nnnnn1?p?q?n?2apaq?apaq??ak?2k?1n1?p?q?n?|ap||aq| ?1?p?q?n?apaq?apaq?21?p?q?n?|ap||aq|不等式显然成立。并且当且仅当apaq?apaq?2|ap||aq|时，1?p?q?n取等号。这样，或者ap?0或aq?0，或者ap?0，aq?0，设ap?rpep，aq?rqeq， 则apaq?apaq?ap?rpe?i?pi?i?rqeq?rpeprqei?i??i?q?2rprqcos(?p??q)?2rprq，
cos(?p??q)?1，?p??q?2k?，即ap，aq幅角相同。
这样，不等式要取等号，a1,a2,......,an或者有些为零，或者幅角相同，即不为零的幅角都相同。
22a?b?a?b?ab?2（当且仅当a?b时取等号） 。 ②若a,b?0，221?1ab证明：a?b?ab为均值不等式，已证明过，并且当且仅当a?b时，取等号。
21?111于是，ab?11?1，即ab?1?2，并且当且仅当?，即
1?11?12ababababab2a?b时，取等号。
2a?b?ab?(a?b)?ab?a2?2ab?b2?4ab2422 ?a?b?2ab?2(a2?b2)?a2?2ab?b2?(a?b)2
2222(a?b)2a?ba?b ????a?b2422 10