1n证明：记An??xk。
nk?1当n?1时，结论显然成立。
1k1k假设n?k时，结论成立，即f(?xi)??f(xi)，并且，若f为严格下凸函数，
ki?1ki?1则当且仅当x1?x2?...?xk时，取得等号。 当n?k?1时，
(k?1)Ak?1?(k?1)Ak?1(k?1)Ak?1?a1?a2?...?ak?11k?1f(x)?f(A)?f()?f()?ik?1k?1i?12k2k1(k?1)Ak?1?ak?1a1?a2?...ak ?f((?))2kk1(k?1)Ak?1?ak?11a1?a2?...ak ?f()?f()2k2kf(a1)?f(a2)...?f(ak)1k?11 ?[f(Ak?1)?f(ak?1)?]2kkk于是，2kf(Ak?1)?(k?1)f(Ak?1)??f(ai)，(k?1)f(Ak?1)??f(ai)
i?1i?1k?1k?11k?1 f(Ak?1)??f(ai)
k?1i?1即n?k?1时，不等式也成立。
从证明过程中看，若f为严格下凸函数，不等式要取等号，必须
?(k?1)Ak?1?ak?1a1?a2?...ak??kk? ?a1?a2?...?ak?A?ak?1?k?1?如此，易得a1?a2?...?ak?ak?1。结论得证！
对于凹函数，自然也有类似的结果。
1n1n假设f为上凸函数，n?N，x1,x2,...,xn?D(f)，则f(?xk)??f(xk)。特
nk?1nk?1?别地，若f为严格上凸函数，则当且仅当x1?x2?...?xn时，取得等号。
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V．凸函数的判别法
关于凸函数的判别，一个是运用定义，但有时用定义会比较麻烦。这里不加证明地介绍一种方法，至于它的道理，已不在高中数学范围内。
我们先讲函数的高阶导数。我们知道函数f(x)的导数f?(x)仍然是x的函数，我们称其为导函数。如果f?(x)仍然在x可导，则称f(x)在x二阶可导，并且将
f?(x)的导数称为f(x)的二阶导数，记为f??(x)。我们看到f??(x)仍然是x的函数，
于是可再定义其导数，称为f(x)的三阶导数。依次类推，可以定义f(x)的任意阶导数。
定理：假设f(x)在区间[a,b]二阶可导。f(x)为区间[a,b]上的下凸函数，当且仅当f??(x)?0，?x?[a,b]。f(x)为[a,b]上的上凸函数，当且仅当f??(x)?0，
?x?[a,b]。特别地，若f??(x)?0，?x?[a,b]，则f(x)为[a,b]上的严格下凸函
数。若f??(x)?0，?x?[a,b]，则f(x)为[a,b]上的严格凸函数。
1n例13、请证明均值不等式：?ak?nk?1n?ak?1nk，并且当且仅当a1?a2?...?an时，
取得等号。其中，n?N?,ai?0,i?1,2,...,n。
证明：若存在1?i0?n，使得ai0?0，不等式显然成立，并且为了左右相等，必须a1?a2?...?an?0，结论显然成立。
假设ai?0,i?1,2,...,n。取函数f(x)?lnx，则f?(x)?因此f(x)?lnx为严格上凸函数。这样，
n1n1nln(?ak)??lnak?lnn?ak nk?1nk?1k?111，f??(x)??2?0。xx并且当且仅当a1?a2?...?an时，不等式取得等号。
n1n1n1n由ln(?ak)??lnak?lnn?ak，立即有?ak?nk?1nk?1nk?1k?1n?ak?1nk，且当且仅当
a1?a2?...?an时，不等式取得等号。
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综上所述，结论成立。
1np1n例14、请证明不等式?a?(?ak)p，其中p?1，n?N?,ai?0，并且当且
nk?1nk?1仅当a1?a2?...?an，不等式取得等号。
证明：取函数f(x)?xp，x?0。则f?(x)?pxp?1，f??(x)?p(p?1)xp?2?0。于是
1np1nf(x)在(1,??)为下凸函数。这样，?a?(?ak)p，并且当且仅当
nk?1nk?1a1?a2?...?an时，不等式取得等号。
nn11p 不等式又等价于p?a??ak。
nk?1nk?11npa为a1,a2,...,an的p次幂平均值，不等式的意义是当p?1时，我们称?nk?1p一组正数的p次幂平均值大于等于其代数平均值，并且当且仅当这些数相等时，取等号。
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