历年高考放缩法试题
1．（本题满分15分） 已知f(x)?ax?bx?2lnx，且f(e)?be?ae?2（e为自然对数的底数）。
（1）求a与b的关系；
（2）若f(x)在其定义域内为增函数，求a的取值范围； （3）证明：
ln222?ln332?????lnnn2?2n?n?14(n?1)2(n?N,n?2)
(提示：需要时可利用恒等式：lnx?x?1)
解：（1）由题意
（2）由（1）知：（x>0）
令h(x)=x2－2x+h(x)≥0恒成立. 即
x2－2x+
≥0
.要使g(x)在（0，+∞）为增函数，只需h(x)在（0，+∞）满足：
上恒成立
又所以
（3）证明：证：lnx－x+1≤0 (x>0)，
设.
当x∈（0，1）时，k′(x)>0，∴k(x)为单调递增函数； 当x∈（1，∞）时，k′(x)<0，∴k(x)为单调递减函数； ∴x=1为k(x)的极大值点， ∴k(x)≤k(1)=0.
即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1. ②由①知lnx≤x－1,又x>0，
2． 已知函数f(x)?ln(x?1)?k(x?1)?1， （1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若f(x)?0 恒成立，试确定实数k的取值范围； （3）证明：
ln23?ln34?ln45??lnnn?1?n(n?1)4*（n?N且n?1）
解:（1）当k?0时f(x)在?1,???上为增函数；
??1?k?1k 当k?0时f(x)在?1,?1?上为增函数；在?1???1?,???上为减函数； k? （2）易知k>0,则f(x)max?f(1?)?0即k?1；
（3）令k?1则ln(x?1)?x?2对x??1,???恒成立 即：lnx?x?1对x??0,???恒成立
取
(n?2)?ln23?x?nln342，
lnnn?1?则
n(n?1)22n?ln?n2即
lnnn?1?1n?12，
??
3． (本题满分12分)
{an}a1?1an?nn?1an?1?2n?3n?2已知数列中，，且
(n?2,n?N)．
*(1) 求数列
bn?{an}3n?1的通项公式；
(2) 令
cn?anan?1(n?N)*，数列
{bn}的前n项和为
2cn2Sn，试比较
S2n与n的大小；
(3) 令都有
*n?1(n?N)，数列(cn?1){}的前n项和为
Tn．求证：对任意n?N，
*Tn?2．
an?nn?1an?1?2n?3n?2an解：(1)由题
知， n?an?1n?1?2?3n?2，
n?2an由累加法，当n?2时，n?a11?2?2?3?2?3???2?32
2(1?3n?1an代入又
a1?1，得n?2时，nan?n?3n?1?1?)1?3?3n?1，
a1?1，故
(n?N)*． ．．．．．．．．．．4分
（2）n?N时，
*bn?3n?1an?1n1214．
?1S22?1?12?13?14?2方法1：当n?1时，
S23?1?S21?1?；当n?2时，
?16?17?18?3；
12当n?3时，
?13??15．
下面用数学归纳法证明：
S?n猜想当n?3时，2． 6分
n
S?3①当n?3时，由上可知2成立；
3②假设
n?k(k?3)1?12?13???12k?k时，上式成立，即.
当n?k?1时，左边?k?12?1k?1?12?13???12k?12?1k???12k?1
???12k?1?k?2kk2?1n?k?1，所以当n?k?1时成立．
*S?n由①②可知当n?3,n?N时,2．
S?1S?2综上所述：当n?1时,2；当n?2时, 2；
12*n?3(n?N)时,S2n?n． ．当．．．．．8分
方法2：
S2n?1?12?13???12，记函数12n?1nf(n)?S2n?n?(1?12?13???12n)?n
f(n?1)?(1?12?13???)?(n?1)所以 ．．．．．6分
???12n?1f(n?1)?f(n)?(12?1n?12?2n)?1?2nn则
2?1?1?0
所以f(n?1)?f(n)． 由于
f(2)?S22?2?(1?1212?1313?f(1)?S21?1?(1?12)?1?0，此时
S21?1；
1414)?2?0，此时
?15?16?17?18S22?2；
f(3)?S23?3?(1???)?3?0，此时
S23?3；
S?n由于，f(n?1)?f(n)，故n?3时，f(n)?f(3)?0，此时2．
n*S2n?nSn?nn?3(n?N)n?1,2综上所述：当时，；当时,2． ．．．．．．8分
（3）
cn?an?1n?1?3n
n22?3n当n?2时，(3?1)Tn??2?3nnn(3?1)(3?3)2?3222?2?3nn?1n?1(3?1)(32?3nn2?1)12?13n?1?1?.n3?1 13?12132?所以当n?2时
(3?1)???(3?1)?32?(?13?12)?(?13?13)
??(13n?1＋
T1??1?13?1n)?2?13?1n?2．
32?2且
*故对n?N，
Tn?2得证． ………………………………………………12分
4．（本小题满分12分） 已知函数f?x???1*x?3x3?2x?x22?0?x?1?的反函数为f?1?x?，设
f?1?x?在点
?n,f?n???n?N?处的切线在
a1?12,an?1?f?1y轴上的截距为bn，数列?an?满足：
?an??n?N*?。
⑴ 求数列?an?的通项公式； ⑵ 在数列??bn?an2???an??中，仅当n?5时，
?1bnan2??an取最小值，求?的取值范围；
12,cn?1?g?cn?n?N⑶ 令函数g?x??f?x??1?x?2，数列?cn?满足：c11?c1???*?，求证：
对于一切n?2 的正整数，都满足：1?5.（本小题满分14分）（2002全国卷）
11?c2???11?cn?2。
2设数列{an}满足an?1?an?nan?1,n?1,2,3,?,
（Ⅰ）当a1?2时，求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式； （Ⅱ）当a1?3时，证明对所有的n?1，有
（i）an?n?2;
11?a1?11?a2???11?an?12.
（ii）
22解：（Ⅰ）由a1?2,得a2?a1?a1?1?3,由a2?3,得a3?a2?2a2?1?4,
由a3?4,得a4?a3?3a3?1?5.由此猜想an2的一个通项公式：an?n?1(x?1)………4分
（Ⅱ）（i）用数学归纳法证明：