由
x?1x?0，得x?1
'因为当0?x?1时，g?x??0，g?x?单调递减；当1?x???时，g'?x??0，g?x?单
调递增，所以在x?1处g?x?有极小值1 故当x?1时，g?x??g?1??1，
从而有x?lnx?1，亦即x?lnx?1?lnx 故有?1???1?1???ln1????恒成立。 n?n??'所以f?2x??f?2??2f?x?，原不等式成立。
2km（Ⅲ）对m?N，且m?1 1??有?1??m??m01?1?2?1?k?1?m?1??Cm?Cm????Cm?????Cm?????Cm??
?m??m??m??m?2kmm?m?1??1?m?m?1???m?k?1??1?m?m?1??2?1?1??1?1??????????????2!k!m!?m??m??m?
?2?1?1?1?1??2??k?1?1?1??m?1?1????1?1??1????1??1????????????? 2!?m?k!?m??m??m?m!?m??m?12!?13!???1k!???1m!?2?
1m?m?1??2?12?1?13?2???1k?k?1????
1??11?1?1???1?1?2??1??????????????????
2??23???k?1k??m?1m??3?1m?3
km1??k?1?2?1?又因Cm，故?0k?2,3,4,?,m?????3 ??m???m?1??∵2??1??m??m1???3，从而有2n???1???3n成立，
k?k?1?nknk1??即存在a?2，使得2n???1???3n恒成立。
k?k?1?15.（本题15分）（2007浙江卷）
已知数列?an?中的相邻两项a2k?1，a2k是关于x的方程x2?(3k?2k)x?3k?2k?0的两个根，且a2k?1≤a2k(k?1，2，3，?)． （I）求a1，a2，a3，a7；
（II）求数列?an?的前2n项和S2n； （Ⅲ）记f(n)??1?sinn?3??，
2?sinn?f(3)Tn?(?1)f(2)a1a216?(?1)a3a4524?(?1)f(4)a5a6*?…?(?1)f(n?1)a2n?1a2n，
求证：
≤Tn≤(n?N)．
k（I）解：方程x2?(3k?2k)x?3k?2k?0的两个根为x1?3k，x2?2，
当k?1时，x1?3，x2?2， 所以a1?2；
当k?2时，x1?6，x2?4， 所以a3?4；
当k?3时，x1?9，x2?8， 所以a5?8时；
当k?4时，x1?12，x2?16， 所以a7?12．
（II）解：S2n?a1?a2???a2n
?(3?6???3n)?(2?2???2)
2n?3n?3n22?2n?1?2．
（III）证明：Tn?1a1a2?1a3a4?1a5a6???(?1)f(n?1)a2n?1a2n，
所以T1?1a1a21a1a2??16，
T2?1a3a4?524．
当n≥3时，
Tn?16?1a3a4?1a5a6???(?1)f(n?1)a2n?1a2n，
≥161616??1?1?????? a3a4?a5a6a2n?1a2n?116?216?2n≥?2?1?11? ????3n?6?22?16???，
1a5a61a7a8(?1)f(n?1)同时，Tn?524?????a2n?1a2n
?1?1≤??????? 24a5a6?a1a2a2n?1a2n?51≤524524?19?219?2n3?1?11? ????1n?9?22?524???．
16≤Tn≤524综上，当n?N*时，．
16. (本小题满分12分)（2007重庆卷）
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足S1?1，且
6Sn?(an?1)(an?2),n?N
*（1）求{an}的通项公式；(5分) （2）设数列{bn}满足an(2bn?1)?1，并记Tn为{bn}的前n项和，
*求证：3Tn?1?log2(an?3),n?N. (7分)
（I）解：由a1?S1?16(a1?1)(a1?2)，解得a1?1或a1?2，由假设a1?S1?1，因此
a1?2，
又由an?1?Sn?1?Sn?16(an?1?1)(an?1?2)?16(an?1)(an?2)，
得(an?1?an)(an?1?an?3)?0，
即an?1?an?3?0或an?1??an，因an?0，故an?1??an不成立，舍去． 因此an?1?an?3，从而?an?是公差为3，首项为2的等差数列， 故?an?的通项为an?3n?1．
bn（II）证法一：由an(2?1?3n?log； ?1)?1可解得bn?log2?1??2a2?3n?1??36?25??． 3n?1?3从而Tn?b1?b2???bn?log2?????3n3n?2?36因此3Tn?1?log2(an?3)?log2?????． ??3n?1?3n?2?253n?2fn(?1)3n2?3n(3)n??36?3??3令f(n)??????，则???????3n?1?3n?2fn()3n5?3n(?53()n2)?n?25?2?3332?2．
因(3n?3)3?(3n?5)(3n?2)2?9n?7?0，故f(n?1)?f(n)． 特别地f(n)≥f(1)?2720?1，从而3Tn?1?log2(an?3)?log2f(n)?0．
即3Tn?1?log2(an?3)． 证法二：同证法一求得bn及Tn，
3由二项式定理知，当c?0时，不等式(1?c)?1?3c成立．
1??1?1???由此不等式有3Tn?1?log22?1???1????1??
2??5?3n?1???3??3??3???log22?1???1????1??2??5??3n?1??583n?2?log22···?·?log2(3n?2)?log2(an?3)．
253n?1333证法三：同证法一求得bn及Tn．
令An?··?·25?36473n?1583n?2，Cn?··?． ，Bn?··?··3n?1363n473n?1?3n?23n?13n因
3n3n?13n?13n．因此An2?AnBnCn?33n+22．
3n??363从而3Tn?1?log22???????log22An
3n?1??25?log22AnBnCn?log2(3n?2)?log2(an?3)．
证法四：同证法一求得bn及Tn．
下面用数学归纳法证明：3Tn?1?log2(an?3)． 当n?1时，3T1?1?log2274，log2(a1?3)?log25，
因此3T1?1?log2(a1?3)，结论成立．
假设结论当n?k时成立，即3Tk?1?log2(ak?3)． 则当n?k?1时，
3Tk?1?1?log2(ak?1?3)?3Tk?1?3bk?1?log2(ak?1?3) ?log2(ak?3)?log2(ak?1?3)?3bk?1
?log2(3k?3)32(3k?5)(3k?2)
因(3k?3)?(3k?5)(3k?2)?9k?7?0．故log232(3k?3)32(3k?5)(3k?2)?0．
从而3Tk?1?1?log2(ak?1?3)．这就是说，当n?k?1时结论也成立． 综上3Tn?1?log2(an?3)对任何n?N+成立．
17.（本小题满分13分）（2008安徽卷）
3设数列?an?满足a1?0,an?1?can?1?c,n?N*,其中c为实数。
*（Ⅰ）证明：an??0,1?对任意n?N成立的充分必要条件是c??0,1?,
(Ⅱ)设0?c?(Ⅲ)设0?c?1313,证明：an?1??3c?22n?1,n?N*;
2?an?n?1?,证明：a1?a2?? 21?3c,n?N*