（Ⅰ）必要性：∵a1?0,a2?1?c，又∵a2?[0,1]，∴0?1?c?1，即c??0,1?. 充分性：设c??0,1?，对任意n?N*用数学归纳法证明an??0,1?. 当n?1时，a1?0??0,1?.
假设当n?k时，ak??0,?1k?(ak?1?can?1?c?1?c?33，1则?c?)ak?1?can?1?c?c?1，1且
，0ak?1??0,1?.
由数学归纳法知，an??0,1?对任意n?N*成立. (Ⅱ) 设0?c?13，当n?1时，a1?0，结论成立；
332?1?c，∴1?an?c(1?an?1)?c(1?an?1)(1?an?1?an?1). 当n?2时，∵an?can?1∵0?c?132，由（Ⅰ）知an?1??0,1?，∴1?an?1?an?1?3且1?an?0，
2n?1n?1∴1?an?3c(1?an?1)?(3c)(1?an?2)???(3c)(1?a1)?(3c)，
∴an?1??3c?(Ⅲ)设0?c?n?1,n?N*.
21?3c132,当n?1时，a1?0?2?，结论成立；
当n?2时，由(Ⅱ)知an?1??3c?n?1?0，
2n?12n?12(n?1)n?1?1?2(3c). ∴an?[1?(3c)]?1?2(3c)?(3c)222222n?1∴a1?a2???an?a2???an?n?1?2[(3c)?(3c)???(3c)]
?n?1?2[1?(3c)]1?3cn?n?1?21?3c.
18.（本小题满分14分）（2008福建卷） 已知函数f(x)?ln(1?x)?x。 (Ⅰ)求f(x)的单调区间；
* (Ⅱ)记f(x)在区间[0,n](n?N)上的最小值为bn，令an?ln(1?n)?bn。
(ⅰ)如果对一切n，不等式an?an?2?can?2恒成立，求实数c的取值范围；
(ⅱ)求证：
解法一：
a1a2?a1?a3a2?a4???a1?a3?a2n?1a2?a4?a2n?2an?1?1。
（I）因为f?x??ln?1?x??x，所以函数定义域为（-1,+?）,且f由f由f???x??11?x?1??x1?x.
； ?x??0得-1 ??x??0得x>0，f(x)的单调递增区间为（0，+?）. (II)因为f(x)在[0,n]上是减函数，所以bn?f?n??ln?1?n??n, 则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n. an?2(an?2?an)?n?2(n?2?n)?n?22n?2?n (i) 2n?2?1.> n?2?n?2 n)?lim21?1?2n?2?1n?2(n?2?x??又lim, 因此c<1，即实数c的取值范围是（-?，1）. 1?2n?1?2n?1.（II）由（i）知2n?1 1?3?5???(2n?1)因为[2?4?6????(2n)?]2 = 1?33?55?7(2n?1)(2n?1)11??????＜,3222246(2n)2n?12n?1 1?3?5???(2n?1)＜12n?1＜2n?1?2n?1(n?N*), 所以2?4?6???(2n)1?1?32?4???1?3?5???(2n?1)2?4?6???(2n)＜ 则23?1?即a1a2?a1a3a2an5?3???2a?1?＜2n?1?2n?1?1.???a1a3?a2n?1a2a4?a2n 2an?1?1(n?N*） 19.（2008辽宁卷） 在数列?an?,?bn?中,a1?2,b1?4,且an,bn,an?1成等差数列,bn,an?1,bn?1成等比数列. ⑴求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测?an?,?bn?的通项公式,并证明你的结论; ⑵证明: 1a1?b1?1a2?b2???1an?bn?512. 说明：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．满分12分． 解析： 2（Ⅰ）由条件得2bn?an?an?1，an?bnbn?1 ?1由此可得 a2?6，b2?9，a3?12，b3?16，a4?20，b4?25． ··············································· 2分 2猜测an?n(n?1)，bn?(n?1)． ················································································ 4分 用数学归纳法证明： ①当n=1时，由上可得结论成立． ②假设当n=k时，结论成立，即 ak?k(k?1)，bk?(k?1)， 2那么当n=k+1时， ak?1?2bk?ak?2(k?1)?k(k?1)?(k?1)(k?2)，bk?1?2ak?2bk2?(k?2)． 2所以当n=k+1时，结论也成立． 2由①②，可知an?n(n?1)，bn(n?1)对一切正整数都成立． ······································ 7分 （Ⅱ） 1a1?b1?16?512． n≥2时，由（Ⅰ）知an?bn?(n?1)(2n?1)?2(n?1)n．·········································· 9分 故 1a1?b1?1a2?b2?…?1an?bn?16??1?111??…??? 2?2?33?4n(n?1)??16?1?111111?????…???? 2?2334nn?1??16?1?11?115 ??????2?2n?1?6412综上，原不等式成立． ·······························································································12分 20．（本题14分）（2008浙江卷） 已知数列?an?，an≥0，a1?0，an?12?an?1?1?an2(n?N*)． 记：Sn?a1?a2???an，Tn?11?a1?1(1?a1)(1?a2)???1(1?a1)(1?a2)?(1?an)． 求证：当n?N*时， （Ⅰ）an?an?1； （Ⅱ）Sn?n?2； （Ⅲ）Tn?3 （Ⅰ）证明：用数学归纳法证明． ①当n?1时，因为a2是方程x2?x?1?0的正根，所以a1?a2． ②假设当n?k(k?N*)时，ak?ak?1， 2222因为ak?1?ak?(ak?2?ak?2?1)?(ak?1?ak?1?1) ) ?(ak?2?ak?1)(ak?2?ak?1?1， 所以ak?1?ak?2． 即当n?k?1时，an?an?1也成立． *根据①和②，可知an?an?1对任何n?N都成立． 222?，n?1（n≥2）（Ⅱ）证明：由ak?1?ak?1?1?ak，k?1，，， 22得an?(a2?a3???an)?(n?1)?a1． 2因为a1?0，所以Sn?n?1?an． 22由an?an?1及an?1?1?an?2an?1?1得an?1， 所以Sn?n?2． （Ⅲ）证明：由ak?12?ak?1?1?ak2≥2ak，得 11?ak?1ak?12ak(k?2，3，?，n?1，n≥3) ≤所以 1(1?a3)(1?a4)?(1?an)1(1?a2)(1?a3)?(1?an)12≤an2n?2a2(a≥3)， 于是≤an2n?2(a2?a2)?3， 2?an2n?2?12n?2(n≥3)， 故当n≥3时，Tn?1?1?又因为T1?T2?T3， 所以Tn?3． ???12n?221. （本小题满分14分）（2009四川卷） 设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记 bn?4?an1?an(n?N)。 *（I）求数列?bn?的通项公式； *（II）记cn?b2n?b2n?1(n?N)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都 有Tn?32； （III）设数列?bn?的前n项和为Rn。已知正实数?满足：对任意正整数n,Rn??n恒成立，求?的最小值。 解：（Ⅰ）当n?1时，a1?5a1?1,?a1??又 Qan?5an?1,an?1?5an?1?1 ?an?1?an?5an?1,即an?1??14an 1414 ?数列?an?成等比数列，其首项a1???an?(?14) n，公比是q??14