2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东模拟卷）
数学（理科）试题
本试卷共10页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的． 1.设集合M??x|x?1?，N??x|??x?1??0?，则集合M、N的关系为（ ） x?1?N??
?A．M??N B．N?M C．M?N D．M（原创）主要考查集合之间的关系及简单分式不等式的解法，命题灵感来源于教材
(命题意图)考查集合的关系，分式不等式的解法,共2个知识点
x?1?0??1?x?1?N??x|?1?x?1??N?M,故选B． ?x?11?i2.设i为虚数单位，且复数z?，则z的共轭复数z的虚部为（ ）
1?iA．1 B．i C．?1 D．?i
解析:
（原创）主要考查复数的基本概念（实部、虚部、共轭）及复数的除法运算，命题灵感来源于教材及广东近年的高考试题
(命题意图)考查复数的基本概念及其运算能力，共3个知识点
1?i??i?z?i?z的虚部为1，故选A． 1?i3.在?ABC中，D为BC边的中点，若BC?(2,0)，AC?(1,4)，则AD?（ ）
解析: z?A．(?2,?4) B．(0,?4) C．(2,4) D． (0,4) （原创）主要考查平面向量的坐标表示及运算，命题灵感来源于教材及广东近年的高考试题 (命题意图)考查平面向量的坐标表示及运算能力,共2个知识点 解析：D为BC边的中点?AD?AC?DC?AC?11BC?(1,4)?(2,0)?(0,4)，故选D． 224.某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的侧面积为（ ） A．4+2 B．5
C．42+1
D．52 （原创）主要考查空间几何体的三视图概念，空间想象和运算能力， 命题灵感来源于日常生活及广东近年的高考试题 (命题意图)考查空间想象及运算能力,共2个知识点
解析：易知该几何体的左、右两个侧面为全等的直角梯形，其面积均为S1??(1?2)?2?
图1
12321,前侧面及后侧面为等腰三角形，其面积分为S2??2?2?2和221S3??2?1?1，于是该几何体的侧面积为S?2S1?S2?S3?42+1，故选C．
25.下列命题中，正确的命题为（ ） (1) 函数y?
1
的单调递减区间为???,0?x
?0,???；
高考模拟试题（理科数学）第 - 1 - 页 共 28 页
(2) 若函数y?f(x)是奇函数，则函数y?xf(x)是偶函数；
km(3) 设Cn为二项式系数Cn(k??0,1,2,???,n?,n?2)中的最大值，若m的值唯一，则
n?2m；
(4) 设P(A)为事件A的概率，则“P(A)?0”是“事件A为不可能事件”的充要条件．
A．（1）、（3） B．（2）、（3） C．（1）、（4） D．（2）、（4） （原创）主要考查函数的基本性质（单调性、奇偶性），二项式系数的特征（对称性、单调性），事件的概率，充要条件的判定，命题灵感来源于教学中的学生典型错误 (命题意图)考查函数的基本性质，二项式系数的特征，事件的概率，充要条件的判定及推理、分析的逻辑思维能力,共6个知识点
1的单调递减区间为???,0?和?0,???，即(1)错误；由函数的奇偶性的定x义可知，若函数y?f(x)是奇函数，则函数y?xf(x)是偶函数，即(2)正确；由二项式系数的单调性及对称性特征可知(3)正确；由几何概型举特例可知，“P(A)?0”是“事件A为
解析：函数y?不可能事件”的必要不充分条件，(4)错误．综上：只有(2) 、(3)正确，故选B．
?x??3?2,x?06.设函数f(x)??，若f(x0)?1，则x0的取值范围是（ ）
??lnx?1,x?0A．??1,0)C．???,?1?(0,??? B．??1,0)(1,??? (0,??) D．???,?1?(1,??)
（原创）主要考查分段函数，简单的指数、对数、绝对值不等式的解法及函数与不等式转化、
分类讨论、数形结合的数学思想，命题灵感来源于教学中的学生典型错误
(命题意图)考查基本初等函数类型及不等式的解法，数形结合及转化化归的数学思想,共4个知识点
解析：当x?0时，f(x0)?1?3?x0?2?1?3?x0?3或3?x0?1?x0??1或x0?0（舍）；
当x?0时，f(x0)?1?lnx0?1?1?x0?1．综上：x0??1或x0?1，故选D． 7.以原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线C，有一条渐近线的倾斜角为60，点F是该双曲线的右焦点．位于第一象限内的点M在双曲线C上，且点N是线段MF的中点．若
ON?NF?1,则双曲线C的方程为（ ）
x2y2x23y2?1 ??1 B．?A．
44412y22?1 D．x2?3y2?1 C．x?3（原创）主要考查双曲线的定义和方程，直线的倾斜角，三角形的中位线性质及转化化归的数学思想，命题灵感来源于逆向分析
(命题意图)考查双曲线的基本概念及直线的倾斜角，中位线定理，数形结合及转化化归的数学思想,共5个知识点
x2y2解析：设双曲线C的方程为2?2?1，点F?是该双曲线的左焦点．因为点N是线段MFab的中点，则线段ON是?MFF?的中位线，即有MF??MF?2ON?NF?2，即
??高考模拟试题（理科数学）第 - 2 - 页 共 28 页
2a?2?a?1，又其渐近线的倾斜角为60，则tan60?b?b?3，故选C． a8.设y?f(x)为定义在R上的可导函数，定义运算?和?如下：对?m,n?R均有
m?n?f(m)?n；m?n?f?(m)?n．若?a?R，使得对于?x?R，恒有a?x?a?x?x成立，则称实数a为函数f(x)的基元，则下列函数中恰有两个基元的是（ ） A．f(x)?13(x?3x) B．f(x)?x2?1 C．f(x)?2x3?3x2 D．f(x)?cosx 2（原创）以函数及其导数为载体来考查对新定义的理解及转化化归的数学思想，命题灵感来源于群论中的基本概念（单位元、零元） (命题意图)考查对新信息的理解与探究，及转化化归的数学思想，充分体现新课改的教学理念,共4个知识点
解析：由新定义可知，若实数a为函数f(x)的基元等价于f(a)?1且f?(a)?0，由此易
13(x?3x)有两个基元，函数f(x)?x2?1和函数f(x)?2x3?3x2有一个2基元，函数f(x)?cosx有无穷多个基元，故选A．
知函数f(x)?二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分． （一）必做题（9～13题） 9.函数f(x)?1的定义域为 ． x?1（原创）主要考查函数的定义域及缜密的数学思维，命题灵感来源于教学中的学生典型错误 (命题意图)考查函数的基本概念及缜密的逻辑思维,共2个知识点 解析：???x?0?0?x?1,或x?1，故应填[0，1）(1,??)或{x|0?x?1,或x?1}．
??x?1?010.等比数列?an?中，a6?2a3，则
a11?2a2? ． a5（原创）主要考查等比数列的定义及其性质，命题灵感来源于教学中的学生典型错误 (命题意图)考查等比数列的定义及其性质和运算能力,共2个知识点 解析：a6?2a3?q?3a6a?2a2a112a22?2，?11???q6?3?5，故应填5． a3a5a5a5q?y?x??111.设平面区域D:?t2,点P(x,y)?D，若u?2x?y的最大值为2，则实数t的取值范
??x?0,y?0围是 ．
（原创）主要考查线性规划的逆向问题，直线方程的截距式，数形结合的数学思想及分析推理能力，命题灵感来源于教材及逆向分析
(命题意图)考查逆向分析、解决问题的能力，数形结合的数学思想及分析推理能力，及运动的辩证思维能力,共3个知识点
解析：如11题解析图所示，可知题设平面区域D为?OAB，
高考模拟试题（理科数学）第 - 3 - 页 共 28 页
11题解析图
其中点A(1,0)，B(0,t2)，又u?2x?y?y??2x?u，u为直线y??2x?u在y轴上的截距．由于u的最大值为2，故直线x?2y?1应介于直线l1：y??2x即l2:y??2x?2之间，t22即直线AB在y轴上的截距t应满足：0?t?2， 即?2?t?0或0?t?2 ，故应填??2,0???0,2??或
{t|?2?t?0或0?t?2}．
12.执行如图2所示的程序，则输出的k? ． （原创）主要考查算法的基本逻辑结构和程序框图，等比数列求和，命题灵感来源于等比数列求和公式及近年广东高考试题 (命题意图)考查算法基本概念及利用算法思想解决问题的综合能力,共3个知识点
解析：易知S?2?2?????2?2则输出的k值为满足不等式2k?112kk?1?2，
图2
2?2?2014的最小正整数，易知
k?10，故应填10．
13.设曲线y?lnx?m在x?1处的切线与抛物线x?4y在1?x?4 的部分有两个交点，则实数m的取值范围是 ． （原创）主要考查导数的几何意义，曲线的切线和数形结 合及转化化归的数学思想，命题灵感来源于教材及逆向分析
(命题意图)考查数形结合、转化化归的数学思想及解析几何的本质,共4个知识点 解析：y?lnx?m?y??，易知曲线y?lnx?m在x?1处的切线的斜率k为1，切点为(0,m)，于是切线l的方程为：
1xy?x?m?1．如13题解析图所示，切线l应介于和l平行
的直线a、b之间，其中直线a过点A(1,)，直线b和抛物线x2?4y在1?x?4的部分即弧AB相切， 易知直线a的方程为：y?x?， 直线b的方程为：y?x?1，
故应有：?1?m?1??，即0?m?，故应填m?(0,]或{m|0?m?}．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计前一题的得分）
13题解析图
143434141414高考模拟试题（理科数学）第 - 4 - 页 共 28 页
14.（坐标系与参数方程选做题）曲线C的极坐标方程为：??曲线围成的面积为 ．
1??22sin(??) ，则该?4（原创）主要考查圆的极坐标方程与直角坐标系方程的转化，两角和的正弦公式，命题灵感来源于逆向分析
(命题意图)考查对极坐标思想的理解及分析能力,共2个知识点 解析：原方程为：?+=22sin(??)?2(sin??cos?) ，方程两边同乘以?并化简，
?41?可得?2?1?2?(sin??cos?）．又?2?x2?y2,?cos??x,?sin??y，从而可知曲线C22的直角坐标系方程为：x?y?1?2x?2y??x?1???y?1??1，即曲线C为半径为
221的圆，其围成的面积为?，故应填?．
15. （几何证明选讲选做题）如图3所示，四边形BDEC为圆内接四边形，CB、ED的延长线交于点A，BD、CE的延长线交于
BB?C点F，且AAD?2DE，，则CF? ． DF?3，
（原创）主要考查割线定理，相似三角形的判定及性质，转化化归 和方程的数学思想，命题灵感来源于逆向分析
(命题意图)以几何图形考查转化、化归和方程的思想及基本的数学 运算能力,共3个知识点
解析：设BC?x，DE=y，由AB?BC，AD?2DE
及割线定理可知：AB?AC?AD?AE?2x2?6y2，?x?3y， 即即
图3
BC=3，又易知?EDF??BCF，故?BCF和?EDF相似， DECFBC?=3，从而CF=3DF?3，故应填3． DFDE三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
???设???1,sin(mx?)?，???n,?1?，若x?0是函数f(x)????的一个零点，且函数f(x)的
2??最大值为m．
（Ⅰ）求实数m和n的值；
2a2?b2?cf(A)（Ⅱ）?ABC中，设?A、?B、?C所对的边分别为a、b、c，若a?c，且222?，
b?c?af(C)高考模拟试题（理科数学）第 - 5 - 页 共 28 页