4k?5k12解法二：同解法一求出D点坐标：x??2，y??21，?k1?0?，
5k1?45k1?41消去参数k1得D点的轨迹方程：4(x?)2?5y2?1，?y?0?，易知D点轨迹为一个椭圆（不含
21左右两个顶点），不妨记该椭圆为C0，显然直线l：2x?5y?1?0过点(?,0)，易知直线l与
2椭圆C0相交，欲使D点到直线l的距离d最大，则椭圆C0过D点的切线l0必平行于直线l，
1此时直线l和l0的距离亦为d.设切线l0的方程为：2x?5y?c?0，联立4(x?)2?5y2?1及
22x?5y?c?0得：8x2?4(c?1)x?c2?0，于是??16(c?1)2?32c2?0，求得c?1?2，由于直线l和
22，即dmax?.
333（2）解法一: 设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线MA、MB的方程为：y?k1(x?1)，y?k2(x?1)，
l0平行，故易知此时均有d?c?1??y?k1x?110k12y?3x0?5?222222?(5k1?4)x?10k1x?5k1?20?0?x1?x0??2故由?xy，又k1?0?x1?， 5k?4x?1x?3??1100??54?y1??3x0?5?2y0y0?3x0?5?2y0,)， (?1)?，即A(x0?3x0?3x0?1x0?3x0?3同理可求B(1kAF23x0?52y0y0y0,), 于是可求kAF2?，kBF1?, x0?3x0?32x0?42x0?4从而有?1kBF1?4x041
?，即存在??，满足题设. y0kOM4
解法二：设直线MA、F1B、F2A、MB的方程为：x?k1y?1，x?k2y?1，x?k3y?1，
x?k4y?1，由题设可知ki?0（i?1,2,3,4），由于上述四条直线两两相交，故ki互不相等，
k1?k4?x?k1?k4?k?k4?x?k1y?1?2?因直线MA、MB交于M点，由????M?1,?x?k4y+1?k1?k4k1?k4?y?2?k1?k4??k2?k4?k?k32?2?,,同理可求：A?1?， ?，B?k?kk?kk?kk?k?2424?313??1??， ?不妨设k2??k1,k3??k1,k4??k1，（显然非零实数?,?,?互不相等且均不为1）， ?1????????1??222A(,),B,于是M?,，???， 1??(1??)k1??(1??)k???(???)k1?1??1?x2y2又M,A,B三点均在椭圆C：??1上，即有：
54高考模拟试题（理科数学）第 - 11 - 页 共 28 页
?2???????1????2??1????2???????(???)k??1????(1??)k??1????(1??)k????1?????1????1??1???③， ?1???①， ??1???②， ?545454?1?x??2????(1?x)k?1?x???1??1的两根， 对于①，②，可视实数?,?为关于x的方程：?5422222222即4x2?12x?4?5?0的两根，从而有?+?=3； k1222?x????2??x????(x??)k????1??1的两根， 对于①，③，可视实数1,?为关于x的方程：?54即4k12x2?12k12?x?4k12?2?5?0的两根，从而有1+?=3?，
进而有????2?2?，
（亦可由①-②化简得：?=3??，①-③化简得：??3??1，于是????2?2?），
11211易知kAF2??，kBF1??，kOM?，
k2?k1(1??)k1k3?k1从而
1kAF2?1kBF1?(???)k1?(2?2?)k1?4kOM，即存在??1，满足题设. 4 21．（本小题满分14分） 设函数f(x)=ln(x?1)?axx，(a?R)；g(x)?(1?k)?kx?1，k?(?1,??). x?1（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）当x?[0,1]时，求函数g(x)的最大值；
（Ⅲ）设ai?0(i?1,2,???,n),(n?N*，且n?2)，0?p?1，证明：
?ai?1nnpip??a??i??i?1??n11?p.
（原创）主要考查利用导数来研究函数性质（单调性，最值，极值），函数（主元）、化归、分类讨论及数形结合的数学思想（复杂问题如何使其简单化），探究、推理、分析的逻辑思维能力，命题灵感来源于数和形两个方面：（“数”以伯努利不等式为背景，“形”以指数函数和直线的位置关系为几何直观，即伯努利不等式的几何意义）
(命题意图)以伯努利不等式为背景考查利用导数来研究函数性质，函数（主元）、转化与化归、分类讨论及数形结合的数学思想，探究、推理、分析的逻辑思维能力，综合分析、解决问题并证明的能力，本题综合性较强，以期达到选拔优秀考生的功效,共7个知识点
高考模拟试题（理科数学）第 - 12 - 页 共 28 页
解析：（Ⅰ）显然f(x)的定义域为(?1,??)，f?(x)=1a(x?1)?axx?1?a， ??22x?1?x?1??x?1?令f?(x)=0?x?a?1，
1?a?0时：ⅰ）当a?1??在区间(?1,??)上，f?(x)>0恒成立，故f(x)的增区间为(?1,??)；
ⅱ）当a?1??1?a?0时：在区间(?1,a?1)上，f?(x)<0恒成立，故f(x)的减区间为(?1,a?1)； 在区间(a?1,??)上，f?(x)>0恒成立，故f(x)的增区间为(a?1,??). （Ⅱ）ⅰ）k?0时，g(x)?0，所以g(x)max?0； ⅱ）k?0时，易知g?(x)?(1?k)xln(1?k)?k， 于是：g?(1)?(1?k)ln(1?k)?k，g?(0)?ln(1?k)?k， 由（1）可知g?(1)?0， 下证g?(0)?0， 即证明不等式ln(1?x)?x?0在x?(?1,0)(0,??)上恒成立.
（法一）由上可知：不等式ln(x?1)?若x?(?1,0)x在x?(?1,0)(0,??)上恒成立， x?1x1??1?(?1,0)(0,??)， x?1x?1x?1xx?1??x， )?ln(1?)?故ln(xx?1x?1??1x?1(0,??)，则?即当x?(?1,0)(0,??)时，ln(1)??x，从而ln(x?1)?x， x?1故当x?(?1,0)(0,??)时，ln(1?x)?x?0恒成立，即g?(0)?0.
1?x?1?，列表2如下： 1?x1?x（法二）令G(x)?ln(1?x)?x，x?(?1,??)，则G?(x)?表2：
x G?(x) G(x) (?1,0) 0 0 极小值 (0,??) ? ? 高考模拟试题（理科数学）第 - 13 - 页 共 28 页
由表2可知：当x?(?1,0)(0,??)时，G(x)?G(0)?0，
即ln(1?x)?x?0恒成立，即g?(0)?0. 由于g?(1)?0，且g?(0)?0，
故函数g?(x)?(1?k)ln(1?k)?k区间(0,1)内必存在零点. 又当k?(0,??)时，ln(1?k)?0，
于是指数函数y?(1?k)为增函数?g?(x)为增函数， 同理当k?(?1,0)时，ln(1?k)?0，
于是指数函数y?(1?k)为减函数?g?(x)也为增函数， 于是，当k?(?1,0)xxx(0,??)时， g?(x)?(1?k)xln(1?k)?k必为增函数，
从而函数g?(x)在区间(0,1)内必存在唯一零点，不妨记为x0，则g?(x0)=0， 易知当x?(0,x0)时，g?(x)?0，此时g(x)单调递减； 当x?(x0,1)时，g?(x)?0，此时g(x)单调递增， 又易知g(0)?g(1)?0，故g(x)max?0；
综上，当k?(?1,??)时， g(x)在[0,1]上的最大值为0.
（Ⅲ）证法一：令a??ai?1ni??a?pinn， 显然有：
i?1?n???ai??i?1?p?n?p??a???a?pipii?1nn?n???ai??i?1??n?????p?i?1?a?p，n1?p?np?n，
?a则不等式
i?1nnpip??a?i???i?1?注意到：
?n1?p???a?pii?1n?a?p?n.
aip?a?p?0，且
paip?a?p?1，i?1,2,???,n，即
aia?1??1，且i?1?0， aa于是
aip?a?ppa?a??a???1?i?1??1?p?i?1??1?p?i，i?1,2,???,n，
a?a??a?高考模拟试题（理科数学）第 - 14 - 页 共 28 页
??a?pin故
i?1?a?ni?1pnpai???pai????1?p??n(1?p)??????n(1?p)?aa??i?1?i?1?nnp?aii?1na?n(1?p)?np?n，
??a?pi从而
?a?p11?p，又?n?n，即i?10?p?1?1?p??n1?p?n1?p， p1?p?n?a??i??i?1???a?pi1?a故原不等式
i?1nnpip??a?i???i?1??n11?p成立，证毕.
??a?pin证法二：同上可将不等式
i?1n??a??i??i?1???pnna??i即???n?pi?1????ai????i?1?pp?n1?p??a?pin化为：
i?1?a?p?ap??n???ip??n,
??i?1?a???n??nn??n，令nai?b，则等价于证明：当b?n时，有bp?n成立， ??iiin?i?1i?1ai???i?1?p又bi??1?bi?1??1?p?bi?1??1?p?pbi，
故
?bi?1nnpi???1?p?pbi??n(1?p)?p?bi?n(1?p)?pn?n，
i?1i?1nn于是
?bi?1pi?n，即
??a?pii?1n?n???ai??i?1?p?n1?p得证，
1又0?p?1?1?p??n1?p?n1?p11?p?a，故原不等式
i?1nnpip??a?i???i?1??n11?p成立，证毕.
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