高考模拟试题（理科数学）参考答案及评分标准
共7页，21小题，满分150分．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的． 题号 答案 1. 解析:
1 B 2 A 3 D 4 C 5 B 6 D 7 C 8 A x?1?0??1?x?1?N??x|?1?x?1??N??M,故选B． x?11?i??i?z?i?z的虚部为1，故选A． 2. 解析: z?1?i113. 解析：D为BC边的中点?AD?AC?DC?AC?BC?(1,4)?(2,0)?(0,4)，故选D．
224. 解析：由题中所给三视图易知该几何体的左、右两个侧面为全等的直角梯形，其面积均为S1??(1?2)?2?12132,前侧面及后侧面为等腰三角形，其面积分为S2??2?2?2和221S3??2?1?1，于是该几何体的侧面积为S?2S1?S2?S3?42+1，故选C．
21
5. 解析：函数y?的单调递减区间为???,0?和?0,???，即(1)错误；由函数的奇偶性
x
的定义可知，若函数y?f(x)是奇函数，则函数y?xf(x)是偶函数，即(2)正确；由二项
式系数的单调性及对称性特征可知(3)正确；由几何概型举特例可知，“P(A)?0”是“事件A为不可能事件”的必要不充分条件，(4)错误．综上：只有(2) 、(3)正确，故选B． 6. 解析：当x?0时，f(x0)?1?3?x0?2?1?3?x0?3或3?x0?1?x0??1或x0?0（舍）；
当x?0时，f(x0)?1?lnx0?1?1?x0?1．综上：x0??1或x0?1，故选D．
x2y27. 解析：设双曲线C的方程为2?2?1，点F?是该双曲线的左焦点．因为点N是线段
abMF的中点，则线段ON是?MFF?的中位线，即有MF??MF?2ON?NF?2，
??b?b?3，故选C． a8. 解析：由新定义可知，若实数a为函数f(x)的基元等价于f(a)?1且f?(a)?0，由此
即2a?2?a?1，又其渐近线的倾斜角为60，则tan60?13(x?3x)有两个基元，函数f(x)?x2?1和函数f(x)?2x3?3x2有一2个基元，函数f(x)?cosx有无穷多个基元，故选A．
易知函数f(x)?二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分． 题号 9 10 11 [0，1）(1,??) 答案 （或{x|0?x?1,或x?1}） 5 ??2,00,2??? （或{t|?2?t?0或0?t?2}） ??高考模拟试题（理科数学）第 - 16 - 页 共 28 页
题号 答案 12 13 14 15 10 11m?(0,] （或{m|0?m?}） 44? 3 （一）必做题（9～13题）
??x?0?0?x?1,或x?1，故应填[0，9. 解析：? 1）(1,??)或{x|0?x?1,或x?1}．
??x?1?0aa?2a2a112a2310.解析：a6?2a3?q?6?2?11 ??a3a5a5a52?q6?3?5，故应填5．
q11. 解析：如11题解析图所示，可知区域D为?OAB，其中
u?2x?y?y??2x?u，A(1,0),B(0,t2)，u为直线y??2x?uy在y轴上的截距，由于u的最大值为2，故直线x?2?1应介
t于直线l1：y??2x即l2:y??2x?2之间，即直线AB在y轴
上的截距t应满足：0?t?2，即?2?t?0或0?t?2 ，故应填??2,022
11题解析图
k?1???0,122??或{t|?2?t?0或0?t?2}．
kk?112. 解析：S?2?2?????2?2?2，则输出的k值为满足不等式2整数，易知k?10，故应填10．
13. 解析：y?lnx?m?y??，易知曲线y?lnx?m在x?1处的切线的斜率k为1，切点为(0,m)，于是切线l的方程为：y?x?m?1．如13题解析图所示，切线l应介于和l平行的直线a、b之间，其中直线a过点A(1,)，直线b和抛物线x2?4y在1?x?4的部分即弧AB相切，易知直线a的方程为：
?2?2014的最小正
1x1433y?x?，直线b的方程为：y?x?1，故应有：?1?m?1??，
44111即0?m?，故应填m?(0,]或{m|0?m?}．
44414. 解析：?+
13题解析图
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计前一题的得分）
1?=22sin(???4)?2(sin??cos?) ，等式两边同乘以?并化简，可得
222．又??x?y,?cos??x,?sin??y，从而可知曲线C的?2?1?2?(sin??cos?）22直角坐标系方程为：x?y?1?2x?2y??x?1???y?1??1，即曲线C为半径为1的
22圆，其围成的面积为?，故应填?．
15. 解析：设BC?x，DE=y，由AB?BC，AD?2DE及割线定理可知：
AB?AC?AD?AE?2x2?6y2，?x?3y，即
故?BCF和?EDF相似，即
BC=3，又易知?EDF??BCF，DECFBC?=3，从而CF=3DF?3，故应填3． DFDE高考模拟试题（理科数学）第 - 17 - 页 共 28 页
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
???设???1,sin(mx?)?，???n,?1?，若x?0是函数f(x)????的一个零点，且函数f(x)的
2??最大值为m．
（Ⅰ）求实数m和n的值；
2a2?b2?cf(A)（Ⅱ）?ABC中，设?A、?B、?C所对的边分别为a、b、c，若a?c，且222?，
b?c?af(C)求f(B)的值．
解析：（Ⅰ）f(x)?????n?sin(mx?)?n?cosmx， ??2分
2因为x?0是f(x)的一个零点，即f(0)?n?1?0，?n?1， ??4分 易知f(x)?1?cosmx的最大值为2，从而依题意有m?2，综上m?2,n?1． ??6分 f(A)1?cos2Asin2A??（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f(x)?1?cos2x，于是， ??7分 f(C)1?cos2Csin2C?a2?b2?c22abcosCacosCsinAcosC由正弦定理及余弦定理有：222?， ??9分 ??b?c?a2bccosAccosAsinCcosAsin2AsinAcosC故2??sin2A?sin2C，又a?c?A?C， ??10分 sinCsinCcosA于是sin2A?sin2C?2A?2C???A?C??2?B??2， ??11分
?f(B)?1?cos2B?2，即f(B)?2． ??12分
17．（本小题满分12分）
如图4所示, 四边形ABCD为正方形，PA=PD，二面角P?AD?C为直二面角，点E是棱AB的中点.
（Ⅰ）求证：PE?AC；
（Ⅱ）若?PAB为等腰三角形，求二面角P?AC?B的余弦值.
解析：（解法一：向量法）（Ⅰ）由题设条件，可按如图 4-1建立空间直角坐标系，其中O为AD中点，不妨设（0,0,b）正方形ABCD的边长为2a，OP?b,则可知P，A（a,0,0）（a,a,0）（-a,2a,0），E，C ??2分
图4
于是PE=(a,a,?b)，AC=(-2a,2a,0)， ??4分 从而PE?AC=0，故PE?AC，即PE?AC ??6分 （Ⅱ）?PAB为等腰三角形，又易知?PAB为直角，故只能为AP?AB，故a2?b2?2a，
图4-1
（0,0,3a） 易知b?3a，即P， ??7分
显然m=(0,0,1)为平面ACB的法向量， ??8分
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设平面PAC的法向量为n0=?x,y,z?，由上可知PA=(a,0,?3a)，又AC=(-2a,2a,0)，
?PA?n0?ax?3az?0??PA?n0?由????x?y?3z，故n0=??AC?n0??AC?n0??2ax?2ay?0?3z,3z,z，
?即n=?3,?3,?1亦是平面PAC的法向量， ??10分 0,1)??3,?3,?1m?n(0,7从而cos?m,，又易知二面角P?AC?B为钝角，故n?==?-71?7mn????二面角P?AC?B的余弦值即为-7. ??12分 7（解法二：传统法）（Ⅰ）如图4-2，设点F是棱AD的中点，连接PF，EF，BD， 由PA=PD及点F是棱AD的中点，可知PF?AD， ??1分 又二面角P?AD?C为直二面角，故PF?面ABCD， 而AC在平面ABCD内，故PF?AC， ??2分 因为四边形ABCD为正方形，故BD?AC， ??3分
图4-2
而EF是?ABD的中位线，故EF//BD，从而可知EF?AC， ??4分 又PFEF?F，由PF?AC及EF?AC，可知AC?面PEF， ??5分
而PE在平面PEF内，故PE?AC. ??6分 GE,G（Ⅱ）设点G是AC与EF的交点，由（Ⅰ）可知AC?面PEF，又P均在平面PEF内，
从而有PG?AC，EG?AC，故?PGE为二面角P?AC?B的平面角， ??8分 因为?PAB为等腰三角形，又易知?PAB为直角，故只能为AP?AB，不妨设正方形ABCD的边长为2a，PF?b，故a2?b2?2a，易知b?3a， ??9分 则在直角?PFG中，易知有PF?3a，FG?2a， 22a2?2?FG14723a??a?acos?PGF???于是PG?，故， ??11分 ??2?2PG714??a27显然?PGF??PGE??，故cos?PGE?-cos?PGF??，
77即二面角P?AC?B的余弦值为?． ??12分
7
??218．（本小题满分14分）
现有一枚质地均匀的骰子，连续掷两次，所掷的点数依次记为a，b．
（Ⅰ）若a为偶数，则x?1，否则x?2；若b能被3整除，则y?1，否则y?2.设??xy，求随机变量?的分布列及均值（即数学期望）； （Ⅱ）设命题p:直线y?ax?b与圆x2?y2?1有交点，命题q:a?b?3,求命题(?p)?q为真命题的概率.
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解析：（Ⅰ）易知事件{a为偶数}的概率为
表1?1： 1，于是对于随机变量x，列表1?1如下： 2x P 1 2 1 21 21事件{b能被3整除}的概率为，于是对于随机变量y，列表1?2如下：
3表1?2：
y P 1 2 1 32 3??xy?随机变量?可取的值为1,2,4， ??1分
111由上述二表可知：P(??1)?P(x?1)?P(y?1)???， ??2分
2361同理可求P(??4)?， ??3分
3111于是P(??2)?1?(?)?， ??4分
632从而可知随机变量?的分布列如表1?3：
表1?3： ? P 1 1 62 1 24 1 3??5分
11155进而可知随机变量?的均值E??1??2??4??，即?的均值E??. ??6分
62322（Ⅱ）由(?p)?q为真命题?命题?p及q均为真，即p为假命题，q为真命题， ??7分 若p为假，则直线y?ax?b与圆x2?y2?1无交点，即直线与圆相离，于是直线ax?y?b?0b?1 ??9分 到圆x2?y2?1的距离d大于圆x2?y2?1的半径r?1，即d?2a?1?b2?a2?1?b?a???①； ??10分 若q为真，则a?b?3???②， 记事件?为“连续掷两次该骰子所得的点数为(a,b)”，事件A(a,b)?(1,2)、,)b使得命题(?p)?q为真命题”(1,3)、(1,4)、(2,3)、为“(a，联立①、②式可知：
(2,4)、???、(3,6)，共12组解，即事件A共有nA?12个基本事件， ??12分
又易知事件?共有n??36个基本事件， ??13分
n1211?，即命题(?p)?q为真命题的概率为. ??14分 则P?A??A?n?3633 19．（本小题满分14分）
2设数列?an?的前n项和为Sn，对于?n?N*满足：an?0，且an是4Sn和3?an的等差中项．
（Ⅰ）求a1的值；
高考模拟试题（理科数学）第 - 20 - 页 共 28 页