（Ⅱ）求数列?an?的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n有，
1111???????. 22a12a2an422解析：（Ⅰ）an是4Sn和3?an的等差中项?2an?4Sn?3?an ??1分
对于上式，令n?1，则2a1?4a1?3?a12?a1?3或a1??1， ??3分 又an?0?a1??1（舍），故a1?3. ??4分
*22（Ⅱ）易知：4Sn?an?2an?3???①，4Sn?1?an?1?2an?1?3???②，n?N， ??5分
22上述两式作差并化简得：2(an+1?an)?an+1?an?2(an+1?an)?(an+1?an)(an+1?an)，
又an?0?an+1?an?2，n?N， ??7分 即数列?an?为等差数列，公差为2，由a1?3，可知an?a1?2(n?1)?2n?1，即数列?an?的通项公式为an?2n?1，n?N*. ??9分 （Ⅲ）于是
11111111111?(?)，??12分 ????(?)，即22an4nn?1an(2n?1)24n2?4n?14n2?4n4nn?1*1111?111111?111?2?????2??(?)?(?)?????(?)??(1?)?，即对一切正整2a1a2an4?1223nn?1?4n?141111???????，证毕. ??14分 22a12a2an4数n有，
20．（本小题满分14分） 如图5所示，点M(x0,y0)，（x0??1，且y0?0）在以F1、F2x2y2为左、右焦点的椭圆C：??1上运动,动三角形MF1F2的
m?1m面积的最大值为2.设直线MF1交椭圆于点A,直线MF2交椭圆于点B，线段MA中点为D. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）在点M的运动过程中：
（1）设点D到直线l：2x?5y?1?0的距离为d，求d的最大值；
（2）设直线AF2、BF1、OM的斜率依次为kAF2、kBF1、kOM，问：是否存在实数?，使得1kOM??(1kAF2?1kBF1)恒成立？若存在，求?的值；否则，请说明理由.
图5
x2y2解析：（Ⅰ）由椭圆C：??1可知其半焦距c?1，即焦距F1F2?2， ??1分
m?1m1动三角形MF1F2的面积的最大值为2，故S?MF1F2??F1F2?h?h?2，即动点M到x轴的距
2离h的最大值为2.显然当动点M运动到椭圆C的上、下顶点时，点M到x轴的距离的最大，
x2y2即椭圆C的短半轴b?2，于是m?b?4，从而可知椭圆C的方程为??1. ??3分
542高考模拟试题（理科数学）第 - 21 - 页 共 28 页
（Ⅱ）（1）解法一：设A(x1,y1)及直线MA的方程为：y?k1(x?1)，k1?0，
?y?k1x?1?因为点M(x0,y0)，A(x1,y1)为直线MA与椭圆C的交点，故由?x2y2消去y得如下方程：
??1??54(5k12?4)x2?10k12x?5k12?20?0， ??4分 10k12易知x0，x1是上述方程的两个相异实根，?x1?x0??2，又点D(x?,y?)为线段MA5k1?4x1?x0?5k12?5k124k1???y?k(x?1)?k(?1)?的中点，故D点坐标为：x??，， 1125k12?45k12?45k12?45k124k,21)， ?k1?0?， ??6分 即D(?25k1?45k1?4从而点D到直线l：2x?5y?1?0的距离为d?10k1245k?2?21?15k1?45k1?42?(5)22??5k12?45k1?45k12?43，
2?5k12?45k1?42?t5(t?1)k?45k?4(t?1)?0????45?80(t2?1)?0?t2?2，令，则 1125k1?4??即t?2，则d?t3?22，（当且仅当k1?3?10?55?时取等号）
，即dmax?2.??9分 34k?5k12解法二：同解法一求出D点坐标：x??2，y??21，?k1?0?， ??6分
5k1?45k1?41消去参数k1得D点的轨迹方程：4(x?)2?5y2?1，?y?0?，易知D点轨迹为一个椭圆（不含
21左右两个顶点），不妨记该椭圆为C0，显然直线l：2x?5y?1?0过点(?,0)，易知直线l与
2椭圆C0相交，欲使D点到直线l的距离d最大，则椭圆C0过D点的切线l0必平行于直线l，
1此时直线l和l0的距离亦为d.设切线l0的方程为：2x?5y?c?0，联立4(x?)2?5y2?1及
22x?5y?c?0得：8x2?4(c?1)x?c2?0，于是??16(c?1)2?32c2?0，求得c?1?2，由于
直线l和l0平行，故易知此时均有d?c?13?22，即dmax?. ??9分 33（2）解法一: 设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线MA、MB的方程为：y?k1(x?1)，y?k2(x?1)， ?y?k1x?110k12y?3x0?5?222222?(5k1?4)x?10k1x?5k1?20?0?x1?x0??2故由?xy，又k1?0?x1?， 5k?4x?1x?3100???1?54?y1?y0?3x0?5?2y0?3x0?5?2y0(?1)?,)， ??11分 ，即A(x0?1x0?3x0?3x0?3x0?3高考模拟试题（理科数学）第 - 22 - 页 共 28 页
同理可求B(3x0?52y0,), ??12分 x0?3x0?3y0y0，kBF1?, ??13分 2x0?42x0?4于是可求kAF2?从而有
1kAF2?1kBF1?4x041
?，即存在??，满足题设. ??14分 y0kOM4
解法二：设直线MA、F1B、F2A、MB的方程为：x?k1y?1，x?k2y?1，x?k3y?1， x?k4y?1，由题设可知ki?0（i?1,2,3,4），由于上述四条直线两两相交，故ki互不相等，
k1?k4?x?k1?k4?k?k4?x?k1y?1?2?因直线MA、MB交于M点，由????M?1,?x?k4y+1?k1?k4k1?k4?y?2?k1?k4???， ??k2?k4?k?k32?2?B,同理可求：A?1，,??，不妨设k2??k1,k3??k1,k4??k1， ?k?kk?kk?kk?k?2424?313??1?1???1??22,)， ,（显然非零实数?,?,?互不相等且均不为1），于是M??,A(1??(1??)k1??(1??)k1?1??????2x2y2B?,?，又M,A,B三点均在椭圆C：??1上，即有： ???(???)k54?1??1????2??1????2???????2??????1????1?????????(???)k?(1??)k(1??)k????1????1????1??1???①，??1???②，??1???③，??11分 5454542?1?x??2?????1?x??(1?x)k1????1， 对于①，②，可视实数?,?为关于x的方程：542222222即4x2?12x?4?5?0的两根，从而有?+?=3； k1222?x????2??x????(x??)k????1??1， 对于①，③，可视实数1,?为关于x的方程：?54即4k12x2?12k12?x?4k12?2?5?0的两根，从而有1+?=3?，
进而有????2?2?，（亦可由①-②化简得：?=3??，①-③化简得：??3??1，于是
????2?2?）， ??13分
易知kAF2?11211?，kBF1??，kOM?，
k2?k1(1??)k1k3?k1高考模拟试题（理科数学）第 - 23 - 页 共 28 页
从而
1kAF2?1kBF1?(???)k1?(2?2?)k1?4kOM，
即存在??
1
，满足题设. ??14分 4
21．（本小题满分14分） 设函数f(x)=ln(x?1)?axx，(a?R)；g(x)?(1?k)?kx?1，k?(?1,??). x?1（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）当x?[0,1]时，求函数g(x)的最大值；
（Ⅲ）设ai?0(i?1,2,???,n),(n?N，且n?2)，0?p?1，证明：
*?ai?1nnpip??a??i??i?1??n11?p.
解析：（Ⅰ）显然f(x)的定义域为(?1,??)，f?(x)=1a(x?1)?axx?1?a， ??1分 ??22x?1?x?1??x?1?令f?(x)=0?x?a?1， ⅰ）当a?1??1?a?0时：
在区间(?1,??)上，f?(x)>0恒成立，故f(x)的增区间为(?1,??)； ??2分 ⅱ）当a?1??1?a?0时：
在区间(?1,a?1)上，f?(x)<0恒成立，故f(x)的减区间为(?1,a?1)； ??3分 在区间(a?1,??)上，f?(x)>0恒成立，故f(x)的增区间为(a?1,??). ??4分 （Ⅱ）ⅰ）k?0时，g(x)?0，所以g(x)max?0； ??5分
xk?0时，g?(1)?(1?k)ln(1?k)?k，g?(0)?ln(1?k)?k，ⅱ）易知g?(x)?(1?k)ln(1?k)?k，于是：
由（1）可知g?(1)?0， 下证g?(0)?0，即证明不等式ln(1?x)?x?0在x?(?1,0)(0,??)上恒成立.（法一）由上可知：不等式ln(x?1)?x在x?(?1,0)(0,??)上恒成立，若x?1x?(?1,0)(0,??)，则?1xx1)?ln(1?) ??1?(?1,0)(0,??)，故ln(x?1x?1x?1x?1高考模拟试题（理科数学）第 - 24 - 页 共 28 页
xx?1??x，即当x?(?1,0)(0,??)时，ln(1)??x，从而ln(x?1)?x，故当?xx?1??1x?1x?(?1,0)(0,??)时，ln(1?x)?x?0恒成立，即g?(0)?0. ??7分
1?x?1?（法二）令G(x)?ln(1?x)?x，x?(?1,??)，则G?(x)?，列表2如下： 1?x1?x表2：
x (?1,0) (0,??) 0 ?G?(x) G(x) 由表2可知：当x?(?1,0)? 0 极小值 ? (0,??)时，G(x)?G(0)?0，
故ln(1?x)?x?0恒成立，即g?(0)?0. ??7分 由于g?(1)?0，且g?(0)?0，故函数g?(x)?(1?k)ln(1?k)?k区间(0,1)内必存在零点. 又当k?(0,??)时，ln(1?k)?0，指数函数y?(1?k)为增函数?g?(x)为增函数， 同理当k?(?1,0)时，ln(1?k)?0，指数函数y?(1?k)为减函数?g?(x)也为增函数，
xxx(0,??)时， g?(x)?(1?k)xln(1?k)?k必为增函数，
从而函数g?(x)在区间(0,1)内必存在唯一零点，不妨记为x0，则g?(x0)=0，
于是，当k?(?1,0)易知当x?(0,x0)时，g?(x)?0，此时g(x)单调递减； 当x?(x0,1)时，g?(x)?0，此时g(x)单调递增， 又易知g(0)?g(1)?0，故g(x)max?0；
综上，当k?(?1,??)时， g(x)在[0,1]上的最大值为0. ??9分
（Ⅲ）证法一：令a??ai?1ni??a?pinn， 显然有：
i?1?n???ai??i?1?p?n?p??a???a?pipii?1nn?n???ai??i?1??n?????p?i?1?a?p，n1?p?np?n，
?a则不等式
i?1nnpip???a?a??i??i?1?aiaiaipaip?1??1?1?0，于是?0?1i?1,2,???,n注意到：，且，，即，且ppaa?a??a??n1?p???a?pii?1pn?n. ??11分
高考模拟试题（理科数学）第 - 25 - 页 共 28 页