数列中的几个重点问题的分析
一、 等差数列与等比数列的定义
1、如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这样的数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,即若an?an?1?d(d为常数,n?2,3?),即数列?an?为等差数列.
2.如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,这样的数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,即若anan?1?q(q为常数,且q?0,n?2,3,?),则数列?an?为等比数列.3.等差数列的定义式可表示为:an?1?an?d(n?1,2,3,......)与2an=an?1?an?1(n?2,3,......)注意，写法不一样，n的取值不一样。an?1?an=an?an?1(n?2,3,......)及例题1 设等比数列?an?的公比为q，前n项和为Sn，若Sn?1,Sn,Sn?2成等差数列，则q的值可能为（ ）。
A. ?1 B. ?2 C. ?3 D.
12
解法一：特值法，令n=1。对于填空选择题，通常可以用特值法。在数列中，无论是通项公式，还是递推关系式，都是一般形式，适合任意的正整数值，所以如果用简单的值能够得出结果，会来得比较快。
解法二：由Sn?Sn?1?Sn?2?Sn??an?1?an?2?an?1?an?2??2an?1?q??2，选（B） 例题2（08辽宁高考题）在数列?an?，?bn?是各项均为正数的等比数列，设cn?（1）数列?cn?是否为等比数列？证明你的结论；
（2）设数列?lnan?，?lnbn?的前n项和分别为Sn，Tn．若a1?2，求数列?cn?的前n项和．
（1）证明：设?an?的公比为q1(q1?0)，?bn?的公比为q2(q2?0)，则
cn?1cn?bn?1anbaq??n?1?n?2?0，故?cn?为等比数列． an?1bnbnan?1q1SnTn?n2n?1bnan (n?N)．
*，
小结：由两个等比数列之比得出的新数列还是等比数列。 （2）思路点拨：注意等比数列与等差数列之间的转换。
1
数列?lnan?和?lnbn?分别是公差为lnq1和lnq2的等差数列．
nlna1?nlnb1?n(n?1)2n(n?1)2?由条件得
lnq1?lnq222n?1，即
2lna1?(n?1)lnq12lnb1?(n?1)lnq2n2n?1．
故对n?1，2，…，
(2lnq1?lnq2)n?(4lna1?lnq1?2lnb1?lnq2)n?(2lna1?lnq1)?0．于是
2?2lnq1?lnq2?0，? ?4lna1?lnq1?2lnb1?lnq2?0，?2lna?lnq?0.11?将a1?2代入得q1?4，q2?16，b1?8．从而有cn?和为：4?4?…?4?132n8?162?4n?1n?1?4．所以数列?cn?的前n项
n433(4?1)．
n例题3 设曲线C：y?x(x?0)上的点P1(x1,y1)在x轴上的射
21yy?13x3影为Q1，过P1做斜率为x的直线交x轴于Q2，过Q2作x轴的垂
21P1P3P21线交曲线于点P2(x2,y2)，再过P2做斜率为x2的直线交x轴于Q3，3过Q3作x轴的垂线交曲线于点P3,?,一般地，过Pn(xn,yn)做斜率为xn的直线交x轴于Qn?1，过Qn?1作x轴的垂线交曲线于点
Pn?1，这样无限作下去得到点P1,P2,?,Pn和Q1,Q2,?,Qn，已知x1?1。
2xoQ3Q2Q1（1） 求x2,x3的值；
（2） 证明数列?xn?为等比数列，并求这个数列的通项公式。 （3） 设?PnQnQn?1的面积为Sn，求lim(S1?S2???Sn)。
n??2解：（1）已知x1?1，所以得P1(1,)，Q1(1,0)，过P1做斜率为x1的
13直线是y?13?x?1，得Q2(23,0),P2(2381,8)，过P2做斜率为x2
2 2
的直线是y?881?4464244?2?，得Q(,0),P(,),?x?,x?. x?3323??992187399?3?13xn?xn?x?xn?，得Qn?1(322（2）过Pn(xn,yn)做斜率为xn的直线是y?23xn,0),?xn?1?23xn,?2?故数列?xn?为等比数列，这个数列的通项公式为xn????3?(3)Sn?12?Qn?1Qn?PnQn?111314?xn?xn?xn,23318118(x1?x2???xn)?444n?1。
?lim(S1?S2???Sn)?limn??118x???1?2?1????3?4?9130.
总结：对于定义证明数列为等比数列，应该从一般情形入手，严格证明对于n?N?时，
an?1an为
2常数。部分学生对于该题只是由x2?x1x3，得出数列?xn?为等比数列，这是犯了特殊情形代入
一般情形的错误。
练习：1．若数列{an}满足
an?1a2n2?p（p为正常数，n?N），则称{an}为“等方比数列”．
?甲：数列{an}是等方比数列； 乙：数列{an}是等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
22.已知a1?2,点(an,an?1)在函数f(x)?x?2x的图象上,其中n=1,2,3….。证明数列
?lg(1?an)?是等比数列;
3.等差数列{an}的前n项和为Sn，a1?1?Snn2，S3?9?32．
（Ⅰ）求数列{an}的通项an与前n项和Sn； （Ⅱ）设bn?(n?N)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
?答案：
解答：1.（B）
22．解:由已知an?1?an?2an,
?an?1?1?(an?1),?a1?2,?an?1?1.
2两边取对数得lg(1?an?1)?2lg(1?an).
3
即
lg(1?an?1)lg(1?an)?2.
??lg(1?an)?是公比为2的等比数列.
??a1?2?1，3．解：（Ⅰ）由已知得?，?d?2，
??3a1?3d?9?32
故an?2n?1?2，Sn?n(n?Snn?n?2)．
2．
2（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn?假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br（p，q，r互不相等）成等比数列，则bq?bpbr． 即(q?22)?(p?22)(r?2)．
?(q?pr)?(2q?p?r)2?0
?p，q，r?N，
??q2?pr?0，??
2q?p?r?0，?与p?r矛盾．
?p?r?2??(p?r)?0，?p?r． ??pr，2??2所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
二、数列性质的应用
1）若p1?p2?q1?q2，对于等差数列，有ap?ap?aq?aq；对于等比数列，有
1212ap1?ap2?aq1?aq2。
该结论可以推广到m（m?N*）项，若p1?p2???pm?q1?q2???qm，对于等差数列，有
ap1?ap2???apm?aq1?aq2???aqm；对于等比数列，有
ap1?ap2???apm?aq1?aq2???aqm。
2）对于等差数列，Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,?也成等差数列；
对于等比数列，Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,?也成等比数列。
例题4 在等差数列?an?中,若a4?a6?a8?a10?a12?120,则2a10?a12?______. 解法一：公式法
由已知可得：5a1?35d?120，由a1?7d?24，又2a10?a12?a1?7d?24。 解法二：利用等差数列底标的特性
由a4?a6?a8?a10?a12?5a8?120,?a8?24，则2a10?a12?a8?24。 例题5 一个等差数列前n项和为48,前2n项的和为60,则它的前3n项的和为______.
4
解法一：?Sn?48,S2n?60，又Sn,S2n?Sn,S3n?S2n成等差数列， 则2?S2n?Sn??Sn??S3n?S2n?,即2?12?48?S3n?60?S3n?36。 提示：等差、等比数列性质：m?N， 解法二：特值法
令n?1，则S1?a1?48,S2?a1?a2?60， 所以a2?12,d??36,a3??24,S3?S2?a3?36。
例题6 等差数列?an?的前n项和记为Sn，若a2?a6?a10为一确定的常数，则下列各数中也是常数的是（ ）
A. S6 B. S11 C. S13 D. S12 解：?a2?a6?a10为常数，?a6为常数，则S11?11(a1?a11)2?11a6为常数，选B。
?例题7 已知命题：“若数列?an?为等差数列,且am?a,an?b(m?n,m,n?N),则am?n?
b?n?a?mn?m”.现已知数列?bn?(bn?0,n?N)为等比数列,且bm?a,bn?b(m?n,
m,n?N),若类比上述结论,则可得到bm?n?______.
思路点拨：给出等差数列的规律，要求等比数列相应的规律，只需将等比数列转化成等差数列。 解：??bn?为等比数列，??lgbn?为等差数列，则由am?n?(lgb)?n?(lga)?mn?mbanm1b?n?a?mn?m1，得
lgbm?n??lg()n?m,?bm?n?(banm)n?m.
例题8 如果a、b、c分别是某一等差数列的第n1、n2、n3项，同时又是一等比数列的
第n1、n2、n3项.求证:ab?c?bc?a?ca?b?1.
思路点拨：底数用等比数列的形式代入，而指数用等差代。
证明:设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q.由已知条件,得:b?a?(n2?n1)d,c?a?(n3?n1)d,则有b?c?(n2?n3)d,c?a?(n3?n1)d,a?b?(n1?n2)d.类似地,有b?aq?ab?cn2?n1n3?n1
,c?aq.)(n3?n1)d?bc?a?ca?b?a(n2?n3)d?(aqn2?n1?(aqn3?n1)(n1?n2)d?a?q?100练习：
1．设等差数列?an?的公差d不为0，a1?9d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k?（ ）
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