3?a?an?1?n??43．（2007年高考题）已知数列{an}，且?{bn}满足a1?2，b1?1，
?b?1a?nn?1??4bn?1?14（n≥2）
3bn?1?141（I）令cn?an?bn，求数列{cn}的通项公式； （II）求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn． 4、设数列?an?的前n项和为Sn,点?n,??Sn??(n?N)均在函数y=3x-2的图象上. n?m20(1) 求数列?an?的通项公式; (2) 设bn?数m. 答案：1。
32(1?13n3anan?1,Tn是数列?bn?的前n项和,求使得Tn?对所有n?N都成立的最小正整
)；2。an?1n.3。（Ｉ）由题设得an?bn?(an?1?bn?1)?2(n≥2)，即
cn?cn?1?2（n≥2）
易知{cn}是首项为a1?b1?3，公差为２的等差数列，通项公式为
cn?2n?1．
12（II）由题设得an?bn?dn?12dn?1(n≥2)．
(an?1?bn?1)(n≥2)，令dn?an?bn，则
易知{dn}是首项为a1?b1?1，公比为
dn?12n?112的等比数列，通项公式为
．
?an?bn?2n?1，?由?解得 1?an?bn?n?1?2an?12n?n?12， ?n2求和得Sn??12n2?n?1．
3anan?1?3(6n?5)?6(n?1)?5??1?11????,
2?6n?56n?1?4．（1）an?6n?5(n?N)；（2）bn?n故Tn?
?i?1b1?1?111111?1(1?)?(?)???(?)?(1?). ??2?77136n?56n?1?26n?116n?1)?m20(n?N)成立的m必须且仅须满足
12?m20,即m?10,故满足要
因此,使得
12(1? 16
求的最小整数m为10.
四、极限思想
例题19 设函数f(x)?1x?1,点A0表示原点，点An(n,f(n))(n?N).若向量
??????????????????an?AA?AA???An?1An,?0112n是an与i的夹角（其中i?(1,0)），y设n??Sn?tan?1?tan?2???tan?n,则limSn? 。
解：如图
??????f?n?111an?A0An??n,f(n)?,tan?n????,
nn(n?1)nn?1?Sn?tan?1?tan?2???tan?n?1?1n?12?limSn?1
n??anx?1oi1例题20 （03年上海数学高考）已知A(0,),B(0,n?2n),C(4?2n,0)其中n为正整数，设Sn表
示?ABC外接圆的面积，则limSn? 。
n??解：此题一般地考虑方法是先求出?ABC的外接圆的方程，然后得出圆的面积，最后求得limSnn??的结果，但整个过程的计算比较烦琐，很容易导致计算出错。
但如果从极限的思想出发，首先考虑的是当n??时这三个点的变化的位置，A,B趋于原点，
C点趋于C(4,0)然后看得圆的半径为2，从而所求圆的面积为4?。
例题30 （07年上海数学高考卷（文）第12题）如图，A，B是直线l上的两点，且AB?2．两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与 线段AB围成图形面积S的取值范围是 ． 解：当两圆半径r??时，点C趋向直线AB。
?S?0.当两圆相外切时，r?1. ?S扇形?14A B C l
??1，?S?2?2?4?2?2?????. ?S??0,2? ?22??例题21 （09上海高考题）已知{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列。
? （1）若an?3n?1，是否存在m,k?N,有am?am?1?ak？说明理由；
（2）找出所有数列{an}和{bn}，使对一切n?N,?an?1an?bn，并说明理由；
17
（3）若a1?5,d?4,b1?q?3，试确定所有的p，使数列{an}中存在某个连续p项的和是数列{bn}中的一项，请证明。
[解]（1）由am?am?1?ak，得6m?5?3k?1,
整理后，可得k?2m?43,
*?m,k?N,?k?2m为整数，
?不存在m,k?N，使等式成立
*
?b1qn?1 （2）解法一：若
an?1an?bn，即
a1?nda1?(n?1)d （*）
（i）若d?0，则1?b1qn?1?bn.
当{an}为非零常数列，{bn}为恒等于1的常数列，满足要求
（ii）若d?0，
（*）式等号左边取极限和lima1nda1?(n?1)d?1，
a??（*）式等号右边的极限只有当q?1时，才可能等于1 此时等号左边是常数，
?d?0,矛盾。
综上所述，只有当{an}为非零常数列，{bn}为恒等于1的常数列，满足要求。 解法二：设an?nd?c,若an?2an?1an?1anan?1an?bn，对n?N*都成立，且{bn}为等比数列，
则/?q，对n?N*都成立，即anan?2?qan?1
2*22?(dn?c)(dn?2d?c)?q(dn?d?c)对n?N都成立， ?d?bn?1,n?N
*?qd2
（i）若d?0，则an?c?0，
（ii）若d?0，则q?1, ?bn?m（常数），
即
*dn?d?cdn?c?m， 则d?0，矛盾。
综上所述，有an?c?0,bn?1，使对一切n?N,an?1an?bn
n （3）an?4n?1,bn?3,n?N*
18
设am?1?am?2???am?p?bk?3,p,k?N,m?N.
4(m?1)?1?4(m?p)?12p?3,
kk*
?4m?2p?3?*3k9
??p,k?N,?p?3,??N
取k?3s?2,4m?32s?2?2?3s?3?(4?1)2s?2?2?(4?1)s?3?0 由二项展开式可得正整数M1、M2，使得(4?1)2s?2?4M1?1,
2?(4?1)Ny?8M2?(?1)2,
ssC?4m?4(M1?2M2)?((?1)?1)2，
?存在整数m满足要求。
B1C2A1B2故当且仅当p?3s,s?N时，命题成立
AOA2C1 Bx练习：1、如图，连结?ABC的各边中点得到一个新的?A1B1C1,又连结?A1B1C1的各边中点得到?A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系
列三角形：?ABC，?A1B1C1，?A2B2C2，...，这一系列三角形趋向于一个点M。已知
A(0,0),B(3,0),C(2,2),则点M的坐标是（ ） A. （32，1） B.（112525，） C. （，） ，）1 D.（633332．已知p和q是两个不相等的正整数，且q≥2，则lim1??1????1n??1??1????1n??qpn→??（ ）
A．0 B．1 C．
pq D．
p?1q?1
3．在数列?an?中,若a1,a2是正整数,且an?an?1?an?2,n?3,4,5?,则称?an?为”绝对差数列”.
(1) 举出一个前五项不为零的”绝对差数列”.(只要求写出前十项);
(2) 若”绝对差数列” ?an?中,a20?3,a21?0,在,求出其极限值; 答案：1。（A）；2。（C）；
数列
?bn?满足
bn?an?an?1?an?2,n?1,2,3?,分别判断当n??时,an与bn的极限是否存在,如果存
19
3。（1）a1?3,a2?1,a3?2,a4?1,a5?1,a6?0,a7?1,a8?1,a9?0,a10?1.(答案不唯一) （2）因为在绝对差数列?an?中,a20?3,a21?0,所以自20项开始,该数列是
a20?3,a21?0,a22?3,a23?3,a24?0,a25?3,a26?3,a27?0,?.即自第20项开始,每三个
相邻的项周期地取值3,0,3所以当n??时,an的极限不存在. 当n?20时,bn?an?an?1?an?2?6,所以limbn?6.
n??
五、数列与函数的联系
从函数的的观点看，数列可以看成定义域为正整数集N?或它的有限集?1，2，?，n?上的函数an?f(n)，当自变量n（项数）从小到大依次取值时，所对应的一列函数值f(n)。比如等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d，当d?0，可以理解为an关于n的一次函数，
Sn?na1?n(n?1)2d，当d?0，同样可视为Sn关于n的二次函数；又如数列的前n项和Sn与
S1，当n?1时;?通项an的关系an??，也可示为an关于n的函数。借助函数的?S?S，当n?2，n?N时.n?1?n单调性的定义，进一步还可产生递增或递减数列的概念。从定义上数列可以看作特殊的函数，因此处理数列问题要善于沟通与函数联系，用函数的观点、思想、方法来解决数列问题。
例题22 已知?an?是等差数列，公差d?0，设Sn?a1?a2???an，则在数列?Sn?中（ ） A. 任一项均不为零 B. 必有一项为零
C. 至多一项为零 D. 没有一项为零或无穷多项为零
2思路点拨：本题考查等差数列求和公式的特点。等差数列求和公式形如Sn?an?bn，这是二
次函数（抛物线）形式。 解：?Sn?
x例题23 已知f (x)为偶函数,且f (2+x) = f (2-x)，当?2?x?0时,f(x)?2,若
d2n?(a1?2d2)n,令Sn?0，至多只有一个正整数解，选C。
n?N,an?f(n),则a2009= ( ).
A. 2009 B. 2 C.
12 D. ?1
思路点拨：本题充分说明了数列与函数之间的关系，要通过函数的相关性质来解。 解：由f (x)为偶函数,且f (2+x) = f (2-x)，则f(x)?f(4?x),f(?x)?f(x)，
20