Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．8
182．在等比数列{an}（n?N*）中，若a1?1，a4?A．2?124，则该数列的前10项和为（ ）
1210 B．2?122 C．2?
AnBn?D．2?7n?45n?31211
anbn3．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且整数的正整数n的个数是（ ） A．2
B．3
C．4
，则使得为
D．5
4．（08湖北高考题）已知函数f(x)?2x,等差数列{ax}的公差为2.若
f(a2?a4?a6?a8?a10)?4,则log2[f(a1)?f(a2)?f(a3)???f(a10)]? .
5.已知等差数列an的前n项和为Sn,若OB?a1OA?a200OC,且A,B,C三点共线(该直线不过点O),则S200等于______.
解：由A,B,C三点共线知a1?a200?1，S200?a1?a2???a200 =(a1?a200)?(a2?a199)???(a100?a101)?100。
6.设?an?是公差为正数的等差数列,若a1?a2?a3?15,a1a2a3?80,则a11?a12?a13 =______.
7.在等比数列?an?中,a1?2,前n 项和为Sn,若数列?an?1?也是等比数列,则Sn等于______. 8.已知数列?an?,?bn?都是公差为1的等差数列,其首项分别为a1,b1,且a1?b1?5, a1,b1?N,
答案： 1.(B); 2.(B);3.(D);4.?6;5.100;6.105;7. Sn?2n;8.85;
三、数列的通项与和的求法
6
1、数列求和的常用方法有：（1）公式法，转化为等差、等比数列求和；（2）并项法；（3）累加法或累乘法;(4)错位相减法或裂项法.2、已知初始若干项的值，并用相邻几项关系式给出的数列，称为递归数列.等差数列可以用递归形式给出a1?a，an?1?an?d（n?N）.等比数列可以用递归形式给出b1?b,bn?1?bnq且q?0(n?N).求递推数列的思想方法：累加、累乘、求倒数、变形、猜想、归纳、证明等等。3、要注意树立转化意识,善于把一个数列问题转化为等差数列、等比数列问题来处理.
例题9 写出数列?1,1,?1,1,?的一个通项公式。你还能写出这个数列的其他通项公式吗？ 思路点拨：观察法，对于简单的数列，要求能够通过观察前几项，得出数列的通项公式。本题结果有多种，要求发散思维。
n*解：最简单的答案 an?(?1)(n?N)。
??1 n?2k?1?*还可以是：an??，或an?cosn?(n?N)，或an?sin(n??)
2?1 n?2k思考：除了上面的答案，你还能写出这个数列的其他通项公式吗？
注意：这道题不能改成“写出数列?1,1,?1,1,?的通项公式”，少了“一个”这两个字就不行，数列?1,1,?1,1,?，省略号后面是什么并不确定，只能说满足前四项为?1,1,?1,1的一个数列。
nn比如举个特殊的例子an?(?1)?(n?1)(n?2)(n?3)(n?4)?2，这也可以是满足条件的一个
通项公式。这道题也说明了写出前几项再加省略号不能用来表达某个数列，这点需要引起特别注意，很多同学经常这么写，导致扣分。
例题10 某种细胞开始时有2个,一小时后分裂成4个并死去了1个,两小时后分裂成6个并死去了1个,三小时后分裂成10个并死去了1个,……按照这种规律进行下去,100小时后细胞的存活数是( )个.
A.2100?1 B. 2100?1 C. 299?1 D. 299?1 解法一
思路点拨：观察法，作为选择题，可以直接通过观察得出数列的规律，比较快捷。
a0?2,a1?3?2?1,a2?5?2?1,a3?9?2?1,??an?2?1.选取B。
23n解法二：从递推关系式推导出通项公式：
7
。 a0?2,an?1?2an?1?an?1?1?2(an?1)?an?2?1.选取（B）
例题11 （湖北09高考题）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：
n他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）。
A.289 B.1024 C.1225 D.1378
思路点拨：先通过观察，求出三角形数和正方形数的通项公式，再逐一验证选项中的数是否同时满足三角形数和正方形数。
解:由图形可得三角形数构成的数列通项an?22n2(n?1)，同理可得正方形数构成的数列通项
n2bn?n，则由bn?n(n?N)可排除D，又由an??(n?1)?2an?n(n?1),
289=172，2×289 =17×17×2，显然不满足n(n?1)；
1024=322，2×1024=211，显然不能分解成两个连续整数的乘积，排除； 1225=35，2×1225=2×5×5×7×7=50×49，满足n(n?1)； 故选C。
小结：通过以上题目的分析可知，观察法是数列中比较重要，也比较常用的方法。数列中一个明显的要求就是找规律，所以通过观察，总结出数列的中各项的规律，是培养推论能力的一个方面。
*例题12 已知数列?an?满足a1?2,an?1?an?2n(n?N),则a100?_____.
2
A. 9900 B. 9902 C. 9904 D. 11000
思路点拨：对于递推关系式为an?1?an?F(n)的数列，通常可以采用累加法。
8
解?an?1?an?2n,?an?1?an?2n,an?an?1?2(n?1),?,a2?a1?2.
以上n个式子相加,得an?1?a1?2(1?2???n)?n(n?1),?a100?a1?99?100?9902,故选B.
例题13 在数列?bn?中,若b1?1,bn?1?2n?bn,求通项bn.
思路点拨：对于递推关系式为an?1?an?F(n)的数列，通常可以采用累乘法。
解:由题意,得bn?1bn?2,因此nb2b1?2,b3b2?2,?,2bnbn?1n(n?1)?2n?1,将以上(n?1)个式子相乘,得bn?22.小结：例题4和5所用的思想方法实质上是相同的，数列给出前后两项之差或比为某个简单数列，那么可以从原数列的第一项开始，写出一连串的式子，再通过累加或累乘，消去中间的项，剩下首尾项，进而得出通项公式。
例题6 已知数列?an?满足a1?1,且an?1?2an?3,求an.
解法一：观察法，通过观察前几项的规律，得出通项。注意在利用递推关系式代入时，要保留原来的运算结构，不要具体算出某个值来，否则会把规律抹杀了。
枚举 a2?2?1?3a3?2?3?2?3a4?2?3?2?3?2?3猜想 an?2n?1322
n?1?3(1?2n?11?2)?2?3(2n?1?1)?4?2n?1?3?2n?1?3解法二：利用前面例题4的思想，得出前后两项的关系式，用累加法。
由题设,得an?1?2an?3,an?2an?1?3.那么an?1?an?2(an?an?1),因此?an?an?1?为公比为2的等比数列,又a2?a1?2,2
?an?an?1?2,an?1?an?2?2nn?1,??a2?a1?2.n?12以上(n?1)个式子相加,得an?a1?2?4,即an?2n?1
?3.注意：求出通项后，要检验是否正确，通常只要检验前一两项就可以了，这一步骤是很必要的。 解法三：运用待定系数法，得an?1?a?（2an?a）判,断是否存在满足题设中的递推关系的a.
展开,可得an?1?2an?a,?a?3.?an?1?3?2(an?3),于是数列?an?3?是首项为4,公比为2的等比数列,那么an?3?2n?1,an?2n?1
?3.小结：对于递推关系式满足an?1?can?d（c，d∈R）的数列{an}， 当c?0时，{an}为常数列； 当c?0，d?0时，{an}为等比数列，公比为c； 当c?1时，{an}为等差数列，公差为d； 9
当c?0且c?1，d?0时，递推关系式可转化为an?1?d'?c?an?d'?，再用待定系数法，可得d'?dc?1，由此得出等比数列?an?d'?，求出该数列的通项公式，再进一步求出数列{an}的通项公式。 以上是此类问题的通用解法。 例题14 （09全国高考题）设数列{an}的前n项和为Sn, 已知a1?1,Sn?1?4an?2 （1）设bn?an?1?2an，证明数列{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式。
思路点拨：注意观察问题的设置，为了求出?an?，必须先求?bn?，所以第一小问相当于第二小问的“台阶”。必须抓住这个特点，找到解题的突破口。
解：（1）由a1?1,及Sn?1?4an?2，有a1?a2?4a1?2,a2?3a1?2?5,?b1?a2?2a1?3 由Sn?1?4an?2......① ，则当n?2时，有Sn?4an?1?2……② ①－②得an?1?4an?4an?1,?an?1?2an?2(an?2an?1)
又?bn?an?1?2an，?bn?2bn?1?{bn}是首项b1?3，公比为２的等比数列．
n?1（2）由（I）可得bn?an?1?2an?3?2，?an?12n?1?an2n?34
?数列{an2nan212}是首项为n?(n?1)3412，公差为
341434的等差数列．
???n?n?2，an?(3n?1)?2
小结：第（1）问思路明确，只需利用已知条件寻找bn与bn?1的关系即可．
n?1第（2）问中由（1）易得an?1?2an?3?2，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：
an?1?qan?q(q为常数)，主要的处理手段是两边除以qnn?1．
小结：通过前面例题7可知，有关数列的解答题，通常以多个问题出现，而且问题的设置是层层递进的，前面的问题的结果往往是后面所需的条件，这样就减缓了难度坡度，降低了题目的难度。解这类题目，一定要根据这些问题的提示来找解题思路；解出一小问，就要想想如何利用这一问的结果解下一个问题，而不是“另起炉灶”，从头开始。 10