?f(4?x)?f(?x)，则f(x)的最小正周期为4，有a2009?a4?502?1?a1?2?1?12。选取C。
例题24 已知等差数列的公差d<0,前n项和记为Sn,满足
S20?0,S21?0,则当n=______时,Sn达到最大值.
Sn思路点拨：利用等差数列前n项和公式满足二次函数的形式，用函数的思想来解。 解：因为Sn?12n?(a1?2d221)n，由二次函数法得其顶点的横坐
no1010.520标的范围为10?n?10.5，如图所示，所以当n?10时，Sn达到最大值。
注意：用函数思想解数列问题，注意自变量为正整数。
例题25 （09上海高考题）.已知函数f(x)?sinx?tanx。项数为27的等差数列{an}满足
????an???,?,且公差d?0,若f(a1)?f(a2)?...?f(a27)?0，则当k= 时，
?22?f(ak)?0. 。
解：由f(x)?sinx?tanx，可知函数f(x)为奇函数，且在x????????2,?为增函数。又{an}2?是项数为27的等差数列，假设a14?0，则a13?a15?2a14?0，则a13??a15，由f(x)为增函数，有f(a13)?f(?a15)，又f(?x)??f(x)，f(a13)?f(a15)?0，
同理f(a1)?f(a27)?0,??,由此可得：f(a1)?f(a2)?????f(a27)?0，与已知矛盾； 同样可得a14?0，也不成立，所以a14?0，由f(x)为奇函数，则可得f(a14)?f(0)?0 小结：本题综合了函数、数列的性质。对于此类问题需要深刻挖掘出函数的性质，然后从性质出发进行解题判断。要回避代入到具体函数中去推理运算，这样会导致式子比较复杂，变形受阻。
例题26 已知数列?an?的通项公式为an?(n?1)(*910)(n?N),是否存在自然数m,
n*使对一切的n?N,an?am恒成立?若存在,求m的值;若不存在,说明理由.
思路点拨：本题是求数列的最大项，相当于函数求最值，可以通过分析数列的单调性求得。
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解:an?1?an?(n?2)(910)n?1?(n?1)(988910)?(n910)n8?n10,故当n?8时,an?1?an;当n?8时,an?1?an,又a8?a9?10,
故存在m?8或9,使对一切的n?N,an?am恒成立.小结：等差数列乘等比数列，有点像抛物线，先增大后减小，或先减小后增大。an1On89 例题27 已知数列?an?是首项为2,公比为的等比数列,Sn为它的前n项和.
21(1)用Sn表示Sn?1;(2)是否存在自然数c和k,使得12nSk?1?cSk?c?2成立?并说明理由.112
解:(1)由Sn?4(1?),得Sn?1?4(1?2)?n?1Sn?2(n?N)
*(2)要使Sk?1?cSk?c32c?(?2,只要1232321Sk?2)?0.??①32c?Skk?1
Sk?2?c?Sk.12k?Sk?(Sk?2)?2?Sk?2?0,则①可写成32?Sk?1?Sk(k?N),得*Sk?2?S1?2?1,又?Sk?4(1?)?4,?32Sk?2?32?4?2?4.故要①成立,c只能取2或3.若c?2,?S1?2,?当k?1时,c?Sk不成立,从而①不成立.?当k?2时,32Sk?2?c,从而①也不成立.若c?3,S1?2,S2?3,?当k?1、时2，c?Sk不成立,从而①不成立.?32S3?2?134?c,又32Sk?2?Sk?1?cSk?c32Sk?1?2,?当k?3时,32Sk?2?c,从而①也不成立.
故不存在自然数c和k,使?2成立.小结：本题难点在于参数较多，同时讨论，要分清主次关系。对于两个参数同时讨论，可以先按其中一个参数分大类，再按另一个参数分小类。
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练习：1、已知数列?an?的前n项和Sn?32n?n2，求数列?an2、已知函数f(x)?a?bx的图像过点A?4,??1??和B(5,1) 4??的前n项和
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）记an?log2f(n),n是正整数Sn的前n项和，解关于n的不等式anSn?0;
（3）对于（2）中的整数an与整数104是否为?anSn?中的项？若是，则求出相应的项，若不是，则说明理由。 答案：
1。当n?2时，an?Sn?Sn?1??2n?33，
??an??2n?33，n?N 又n?1时，a1?S1?31，当n?16时，n?N?时，an?0，当n?17,n?N?时，an?0； ?n?16,n?N,a1?a2???an?a1?a2???an?32n?n;n?17,n?N时,a1?a2???an?a1?a2??a16???an??(a1?a2??an)?2(a1?a2???a16)??(32n?n)?2??n?32n?51222??216(31?1)2
?32n?n2n?17Sn??2
?n?32n?512n?172．（1）f(x)?令
11024?4；（2）n?5,6,7,8,9;（3）2n(n?5)(n?9)?10若从函数角度来思
x4f(n)?2n(n?5)(n?9)，结合数列的单调性求解。先估算
a1S1?64,a2S2?84,a3S3?72,a4S4?40,
再讨论当5?n?9时,anSn?0,又当10?n?22时，f(n)?2n(n?5)(n?9)是单调递增，所
44以anSn?a22S22?9724?10,当n?23时，anSn?a23S23?11592?10.
因此10不是数列?anSn?中的项。
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