例题15 （2008年全国高考题）设数列?an?的前n项和为Sn．已知a1?a，an?1?Sn?3n，
*n?N．
（Ⅰ）设bn?Sn?3n，求数列?bn?的通项公式； （Ⅱ）若an?1≥an，n?N*，求a的取值范围．
解：（Ⅰ）依题意，Sn?1?Sn?an?1?Sn?3n，即Sn?1?2Sn?3n， 由此得Sn?1?3n?1?2(Sn?3n)．因此，所求通项公式为
bn?Sn?3?(a?3)2nn?1，n?N*．①
（Ⅱ）由①知Sn?3n?(a?3)2n?1，n?N*， 于是，当n≥2时，an?Sn?Sn?1
?3?(a?3)?2an?1?an?4?3nn?1?3n?1?(a?3)?2n?2n?2?2?3n?1?(a?3)2n?2，
n?1?(a?3)2?2n?2n?2???3??a?3?， ?12????2??????3?当n≥2时，an?1≥an?12????2?n?2?a?3≥0?a≥?9．又a2?a1?3?a1．
???． 综上，所求的a的取值范围是??9，数列求和常用方法有：
（1）公式法：利用等成等比求和公式； （2）并项法：等差数列求和公式的推导； （3）错位相减法：等比数列求和公式的推导； （4）裂项法：例如an?1n(n?1)?1n1n?n?1?1n?1。
例题16 已知数列?an?,an?值为_____.
思路点拨：裂项法。 解：an?1n?n?1?且数列?an?的前n项和Sn?9,那么n的(n?N?)，
n?1?n，则Sn?n?1?1?9?n?99.
例题17 已知数列?an?的通项公式为an?11?2n,Sn?a1?a2???an,则S10的值
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为 。
解：令an?0?n?5.5,?n?5,则S10?2(a1?a2???a5)?(a1?a2???a10)?50 提示：这样转化，是为了便于利用公式。我们总要寻找一种最合适，最快捷的解题方法。 思考：如果要求Sn，该如何求呢？
例题12 (09安徽高考题)（1）已知?an?为等差数列，a1?a3?a5?105，a2?a4?a6?99。以Sn表示?an?的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（ ） A. 21 B. 20 C. 19 D. 18
思路点拨：对于等差数列，若公差d≥0，则Sn存在最小值；若d<0，则Sn存在最大值。对于首项为正，公差为负的等差数列，只需求出所有正数项之和，即为Sn的最大值。
解：由a1+a3+a5=105得3a3?105,即a3?35，由a2?a4?a6=99得3a4?99即a4?33 ，?an?0∴d??2，an?a4?(n?4)?(?2)?41?2n，由?得n?20，选B.
?an?1?0?2n?1 （n为奇数）例题18 已知数列?an?为，an??n求Sn。
?3 （n为偶数）思路点拨：分段数列，分为奇数项等差和偶数项等比，所以必须分开求和。先写出前几项，1，
3，5，3，9，3，?，容易找出规律。
246解：当n?2k(k?N*)时，Sn?n2k[1?2(2k?1)?1]2?9(3?1)8?n?9(9?1)8k?k(2k?1)?9(9?1)8k
用k?代入可得，Sn?n(n?1)2；
k当n?2k?1时，Sn?n?12k[1?2(2k?1)?1]2n(n?1)2?9(9?1)8n?1?k(2k?1)?9(9k?1?1)8
用k?代入可得，Sn?9(3?1)8；
注意：本题是易错题，思路比较简单，但运算过程极易出错。
例题19、若数列?an?满足：a1?m1,a2?m2,an?2?pan?1?qan(p,q是常数），则称数列?an?为二阶线性递推数列，且定义方程x?px?q为数
2列?an?的特征方程，方程的根称为特征根； 数列?an?的通项公式an均可用特征根求得：
①若方程x?px?q有两相异实根?,?，则数列通项可以写成
2 12
an?c1?n（其中c1,c2是待定常数）； ?c2?，
n②若方程x2?px?q有两相同实根?，则数列通项可以写成an?(c1?nc2)?n，（其中； c1,c2是待定常数）
再利用a1?m1,a2?m2,可求得c1,c2，进而求得an． 根据上述结论求下列问题：
（1）当a1?5,a2?13，an?2?5an?1?6an（n?N?）时，求数列?an?的通项公式； （2）当a1?1,a2?11，an?2?2an?1?3an?4（n?N?）时，求数列?an?的通项公式；
12n（3）当a1?1,a2?1，an?2?an?1?an（n?N?）时，记Sn?a1Cn?a2Cn???anCn，若Sn能被数8整除，求所有满足条件的正整数n的取值集合． 解：（1）由an?2?5an?1?6an可知特征方程为：
x?5x?6?0， x1?2,x2?3
2?c1?2?c2?3?5nn所以 设 an?c1?2?c2?3 ，由?得到c1?c2?1，
?c1?4?c2?9?13nn所以 an?2?3； ???????6分
（2）由an?2?2an?1?3an?4可以得到(an?2?1)?2(an?1?1)?3(an?1) 设bn?an?1，则上述等式可以化为：bn?2?2bn?1?3bn
b1?a1?1?2,b2?a2?1?12，所以bn?2?2bn?1?3bn对应的特征方程为：
x?2x?3?0，x1??1,x2?3???????10分
2nn所以令 bn?c1?3?c2?(?1)，由b1?2,7?c?1??6 b2?12可以得出?3?c?2??2所以bn?即 an?7676?3?n3232???1? ???1??1,n?n?3?nn?N
nn???1?5??1?5????,????????5??2??2????（3）同样可以得到通项公式an?1n?N
? 13
123n所以Sn?a1Cn?a2Cn?a3Cn???anCn
112233??????????????????11?51?511?51?511?51?5123??????Cn????Cn????Cn??????????????????????555??2??2????2???2??2???2???????? ???1nn??????1?51?5n? Cn??????????5??2??2?????1?1?5?12[Cn??Cn??2?5??11?1?5??1?5?3n?C???Cn????n?2??2??????1?5??1?5?3n?C???Cn????n?2??2?????2323?1?5?] ??2?????1?5?] ??2????nn?1?1?5?12[Cn??Cn??2?5??nnnn????????????11?51?513?53?5??1?????? ???1???????????????2?2??225??5???????????nn??????13?53?5???,n?N? 即 Sn?????????225????????n?2n?2n?1n?1????????????13?53?513?53?5???????? ?????????????????22225??5??????????????Sn?2nn??3?5??3?5????3?5??3?5??? ?????????????????????????2222???????????????3Sn?1?Sn
?即 Sn?2?3Sn?1?Sn，n?N
因此Sn?2除以8的余数，完全由Sn?1,Sn除以8的余数确定， 因为a1?1,a2?1 所以 S1?C1a1?1，
S2?C2a1?C2a2?3，S3?3S2?S1?9?1?8，
S4?3S3?S2?24?3?21，S5?3S4?S3?63?8?55， S6?3S5?S4?165?21?144，S7?3S6?S5?432?55?377， S8?3S7?S6?1131?144?987，S9?3S8?S7?2961?377?2584，
121由以上计算及Sn?2?3Sn?1?Sn可知，数列?Sn?各项除以8的余数依次是：
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1,3,0,5,7,0,1,3,0,5,7,0,??,它是一个以6为周期的数列，从而Sn除以8的余数等价于n除以3的余数，所以n?3k，k?N?， 即所求集合为：nn?3k,k?N? 练习：
1、数列?an?中a1,a2?a1,a3?a2,?,an?an?1,?是首项为1，公比为
an? 。
13??的等比数列，那么
222、设?an?是首项为1的数列，an?0,且(n?1)an?1?nan?an?1an?0(n?N),则它的通项公式是 。
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