21．（9分）（2016?微山县模拟）问题背景（1）如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：△EFC的面积S1= 9 ，△ADE的面积S2= 1 ．
2
探究发现（2）在（1）中，若BF=m，FC=n，DE与BC间的距离为h．请证明S=4S1S2． 拓展迁移（3）如图2，?DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为3、7、5，试利用（2）中的结论求△ABC的面积．
【解答】（1）解：S1=×6×3=9， 过A作AH⊥BC，交DE于G， ∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEFB是平行四边形， ∴DE=BF=2， ∵DE∥BC，
∴AG⊥DE，△ADE∽△ABC， ∴∴=
=
， ，
解得：AG=1， ∴S2=×DE×AG=
=1，
故答案为：9；1；
（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE为平行四边形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF， ∴△ADE∽△EFC， ∴
=（
）=
2
，
∵S1=nh，
∴S2=×S1=
，
2
∴4S1S2=4×nh×而S=mh，
=（mh），
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∴S=4S1S2；
（3）解：过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形， ∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，
∵四边形DEFG为平行四边形，∴DG=EF， ∴BH=EF， ∴BE=HF，
在△DBE和△GHF中
，
2
∴△DBE≌△GHF（SAS）， ∴△GHC的面积为7+5=12，
由（2）得，平行四边形DBHG的面积S为∴△ABC的面积为3+12+12=27．
=12，
22．（11分）（2014?昆明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．
2
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【解答】方法一：
2
解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax+bx﹣3（a≠0），得
，
解得 ，
所以该抛物线的解析式为：y=x﹣x﹣3；
（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t． ∴PB=6﹣3t．
由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）． 在Rt△BOC中，BC=
=5．
2
如图1，过点Q作QH⊥AB于点H． ∴QH∥CO，
∴△BHQ∽△BOC， ∴
=
，即
=，
∴HQ=t．
∴S△PBQ=PB?HQ=（6﹣3t）?t=﹣当△PBQ存在时，0＜t＜2 ∴当t=1时， S△PBQ最大=
．
；
t+t=﹣
2
（t﹣1）+
2
．
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是
（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）． 把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得
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，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y=x﹣3． ∵点K在抛物线上．
∴设点K的坐标为（m，m﹣m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m，m﹣3）． ∴EK=m﹣3﹣（m﹣m﹣3）=﹣m+m．
当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=∴S△CBK=．
S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m） =×4?EK =2（﹣m+m） =﹣m+3m． 即：﹣m+3m=． 解得 m1=1，m2=3． ∴K1（1，﹣
），K2（3，﹣
）．
22
2
2
2
2
．
方法二： （1）略．
（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t，PB=6﹣3t， ∴点C的坐标为（0，﹣3）， ∵B（4，0），∴lBC：y=x﹣3， 过点Q作QH⊥AB于点H， ∴tan∠HBQ=，∴sin∠HBQ=， ∵BQ=t，∴HQ=t， ∴S△PBQ=PB?HQ=
=﹣
，
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∴当t=1时，S△PBQ最大=
．
（3）过点K作KE⊥x轴交BC于点E， ∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=∴S△CBK=，
设E（m，m﹣3），K（m，S△CBK=∴﹣
=，
=
），
=﹣
，
，
∴m1=1，m2=3， ∴K1（1，﹣
），K2（3，﹣
）．
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