第一章 绪论
1．设x?0,x的相对误差为?，求lnx的误差。 解：近似值x*的相对误差为?=e?lnx*??lnx*?lnx?*er?e*x*?x?x*x*而lnx的误差为
1e*进而有?(lnx*)??x*
2．设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。解：设f(x)?xn，则
函数的条件数为C又?f'(x)?nxn?1p?|xf'(x)| f(x),
x?nxn?1?Cp?||?nn又??r((x*)n)?Cp??r(x*)且er(x*)为
??r((x*)n)?0.02n
3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：
******x1?1.1021,x2?0.031, x3?385.6, x4?56.430,x5?7?1.0.解：x1?1.1021是**?0.031是二位有效数字；x3?385.6是四位有效数五位有效数字；x2**?56.430是五位有效数字；x5?7?1.0.是二位有效数字。 字；x44．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1)
********/x4x1x2x3,(3) x2.其中x1*,x2均为第,x3,x4***x1?x2?x4,(2)
3题所给的数。解：
121*?(x2)??10?321*?(x3)??10?1
21*?(x4)??10?321*?(x5)??10?12?(x1*)??10?4***(1)?(x1?x2?x4)***??(x1)??(x2)??(x4) 111?4?3?3??10??10??10222?1.05?10?3***(2)?(x1x2x3)*********?x1x2?(x3)?x2x3?(x1)?x1x3?(x2)111?1.1021?0.031??10?1?0.031?385.6??10?4?1.1021?385.6??10?3222?0.215**(3)?(x2/x4)
?****x2?(x4)?x4?(x2)*x42110.031??10?3?56.430??10?322?56.430?56.430?10?5
5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为V4??R3则何种函数的条件数为 3R?V'R?4?R2Cp???3
4V?R33??r(V*)?Cp??r(R*)?3?r(R*)又??r(V*)?1故度量半径
R时允许的相对
误差限为?r(R*)?1?1?0.33 31783 1006．设Y0?28，按递推公式Yn?Yn?1?计算到Y100。若取多大误差？ 解：?Yn?Yn?1?783?27.982（5
（n=1,2,…）
位有效数字），试问计算Y100将有
111783 ?Y100?Y99?783 Y99?Y98?783 1001001001783 100……Y1?Y0?1783 100Y98?Y97?依次代入后，有Y100?Y0?100?若取1783即Y100?Y0?783， 100783?27.982, ?Y100?Y0?27.982
11*??(Y100)??(Y0)??(27.982)??10?3?Y100的误差限为?10?3。
227．求方程x2?56x?1?0的两个根，使它至少具有4位有效数字（783?27.982）。
783 解：x2?56x?1?0，故方程的根应为x1,2?28?故
x1?28?783?28?27.982?55.982?x1具有
5位有效数字
5位有效
x2?28?783?128?783?11??0.017863x2具有
28?27.98255.982数字 8．当
N
充分大时，怎样求?NN?11dx21?x？解
?N?1N1dx?arctan(N?1)?arctanN 1?x2设??arctan(N?1),??arctanN。则tan??N?1,tan??N.
1?N1?x2dx????N?1?arctan(tan(???))tan??tan?1?tan??tan?N?1?N?arctan1?(N?1)N1?arctan2N?N?1?arctan
9．正方形的边长大约为了100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2？解：正方形的面积函数为A(x)?x2
1??(A*)?2A*??(x*).当x*?100时，若?(A*)?1,则?(x*)??10?2
2故测量中边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过1cm2
10．设S?1gt2，假定g是准确的，而对t的测量有?0.1秒的误差，
2证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。 解：?S?1gt2,t?0??(S*)?gt2??(t*)
2?r(S*)??(S*)S*gt2??(t*)当t*增加时，S*的绝对误差增加?1g(t*)22?(t*)?2*t
当t*增加时，?(t*)保持不变，则S*的相对误差减少。 11．序列?yn?满足递推关系yn?10yn?1?1 (n=1,2,…), 若y0?2?1.41（三位有效数字），计算到y10时误差有多大？这个
计算过程稳定吗？ 解：?y0?12?1.41??(y0*)??10?2又?yn?10yn?1?1 ?y1?10y0?1
2??(y2*)?102?(y0*)......??(y1*)?10?(y0*)又?y2?10y1?1??(y2*)?10?(y1*)
??(y10*)?1010?(y0*)
1?1010??10?221??1082
计算到y10时误差为12．计算f1?108，这个计算过程不稳定。 2?(2?1)6，取2????，利用下列等式计算，哪一个得
到的结果最好？
1(2?1)6, (3?22)3,
1(3?22)3， 99?702。
解：设y?(x?1)6，若x?计算y值，则
??y*????????????????1???x*?*7(x?1)1则??x*??1?10?1。若通过2，x*?1.4，
2(2?1)66**y??x?*7(x?1)
??????????????y*??x*?若通过(3?22)3计算y值，则
??y*???????(3?2x*)2???x*?6y*???x*?*3?2x????????????y*??x*???????????
若通过1(3?22)3计算y值，则
??y*??????????????????1*???x?*4(3?2x)1y*??x*?*7(3?2x)
????????????????y*??x*?通过1(3?22)3计算后得到的结果最好。
x2?1),求f(30)的值。若开平方用
13．f(x)?ln(x?6位函数表，问
求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。
ln(x?x2?1)??ln(x?x2?1)
计算，求对数时误差有多大？ 解?f(x)?ln(x?x2?1), ?f(30)?ln(30?899)