??0sin[(m?1)?sin[(n?1)?]d??0??sin[(m?1)?d{???1cos(n?1)?}n?11cos(n?1)?d{sin[(m?1)?]}0n?1?m?1???cos(n?1)?cos(m?1)?d?0n?1 ?m?11???cos[(m?1)?]d{sin[(n?1)?]}0n?1n?1?m?1???sin[(n?1)]?d{cos[(m?1)?]}0(n?1)2?m?1??()2sin[(n?1)?]sin[(m?1)?]d?0n?1?0?[1?(?0m?12?m?12)?1 )]?sin[(n?1)?]sin[(m?1)?]d??0又?m?n，故(0n?1n?1??sin[(n?1)?]sin[(m?1)?]d??0
10。证明切比雪夫多项式
(1?x2)Tn??(x)?xTn?(x)?n2Tn(x)?0
Tn(x)满足微分方程
证明：切比雪夫多项式为
Tn(x)?cos(narccosx),x?1从而有
Tn?(x)??sin(narccosx)?n?(?n1?x2?11?x2)sin(narccosx)nn2sin(narccosx)?cos(narccosx)321?x2Tn??(x)?(1?x2)nx1?x2nx1?x2?(1?x2)Tn??(x)?xTn?(x)?n2Tn(x)???0sin(narccosx)?n2cos(narccosx)sin(narccosx)?n2cos(narccosx)
11。假设f(x)在[a,b]上连续，求f(x)的零次最佳一致逼近多项式？
解：：?f(x)在闭区间[a,b]上连续?存在x1,x2?[a,b]，使
f(x1)?minf(x),a?x?bf(x2)?maxf(x),a?x?b取P?1[f(x1)?f(x2)]
2则x1和x2是[a,b]上的2个轮流为“正”、“负”的偏差点。由切比雪夫定理知
P为f(x)的零次最佳一致逼近多项式。
x3?ax达到极小，又问这个解是否唯一？ 12。选取常数a，使max0?x?1解：令f(x)?x3?ax则f(x)在[?1,1]上为奇函数
?maxx3?ax0?x?1?maxx3?ax?1?x?1?
1T3(x)与23?f又?f(x)的最高次项系数为1，且为3次多项式。??3(x)?0的偏差最小。
?3(x)?T3(x)?x3?x从而有a?
14343413。求f(x)?sinx在[0,解：
?2 ]上的最佳一次逼近多项式，并估计误差。
?f(x)?sinx,x?[0,]2f?(x)?cosx,f??(x)??sinx?0f(b)?f(a)2?,b?a?2cosx2?,a1???于是得f(x)的最佳一次逼近多项式
?x2?arccos2??0.88069f(x2)?0.77118f(a)?f(x2)f(b)?f(a)a?x2??2b?a2?0.10526a0?为
P1(x)?0.10526?sinx?P1(x)?0.10526?2?x即sinx?0.10526?2?x,0?x??2误差限为
?sin0?P1(0)
14。求f(x)?ex?0,1?在?0,1?上的最佳一次逼近多项式。 解：
f(b)?f(a)?e?1b?aex2?e?1a1??f(x)?ex,x??0,1?x2?ln(e?1)?f?(x)?ex,f??(x)?ex?0f(x2)?ex2?e?1f(a)?f(x2)f(b)?f(a)a?x2??2b?a21?(e?1)ln(e?1)??(e?1)221?ln(e?1)2a0?
于是得
e1?(e?1)[x?ln(e?1)]22 f(x)的最佳一次逼近多项式为
1?(e?1)x?[e?(e?1)ln(e?1)]2P1(x)?15。求f(x)?x4?3x3?1在区间[0,1]上的三次最佳一致逼近多项式。 解：?f(x)?x4?3x3?1,x?[0,1]令t?2(x?1)，则t?[?1,1] 21111?f(t)?(t?)4?3(t?)3?1112222且x?t?
2214?(t?10t3?24t222t?9)16t令g(t)?16f(t)，则g()?t4?10t3?24t2?22t9?P3*(t)若g(t)为区间[?1,1]上的最
maxg(t)?P3*(t)?min?1?t?1佳三次逼近多项式
g(t)?P3*(t)?应满足当
1142T(t)?(8t?8t?1) 3428时，多项式g(t)?P3*(t)与零偏差最小，故
*3(t)?g(t)?1T(t)342738
?10t3?25t2?22t?进而，f(x)的三次最佳一致逼近多项式为最佳一致逼近多项式为
173[10(2x?1)3?25(2x?1)2?22(2x?1)?]168
51129?5x3?x2?x?44128P3*(t)?1*P3(t)，则f(x)的三次1616。f(x)?项式。
x，在??1,1?上求关于??span?1,x2,x4?的最佳平方逼近多
解：?f(x)?22x,x???1,1?若(f,g)??f(x)g(x)dx且?0?1,?1?x2,?2?x4，则
?11??2?211(f,?0)?1,(f,?1)?,(f,?2)?,则法方程组为??323?22?2(?0,?1)?1,(?0,?2)?,(?1,?2)?,?57?5?02?2,?12?,?22?,252292325272???5??a??1??0??2????1?a1?? ????7??2??a2???12????9??3??a0?0.117187524解??a1?1.640625故f(x)关于??span?1,x,x?的最佳平方逼近多项?a??0.8203125?2式为
S*(x)?a0?a1x2?a2x4?0.1171875?1.640625x?0.8203125x24
17。求函数f(x)在指定区间上对于??span?1,x?的最佳逼近多项式：
1(1)f(x)?,[1,3];(2)f(x)?ex,[0,1]; x(3)f(x)?cos?x,[0,1];(4)f(x)?lnx,[1,2];解：(1)?f(x)?31,[1,3];若(f,g)??f(x)g(x)dx且?0?1,?1?x,，则有 1x?2(?0,?1)?4,则法方程组为???4(f,?0)?ln3,(f,?1)?2,??a0?1.1410从而解得?
a??0.2958?1?02?2,?12?2226,34???a0???ln3? 26???????a1??2?3?故f(x)关于??span?1,x?的最佳平方逼近多项式为
1S*(x)?a0?a1x?1.1410?0.2958x
(2)?f(x)?ex,[0,1]若(f,g)??f(x)g(x)dx且?0?1,?1?x,，则有
0??11则法方程组为?(?0,?1)?,2?1?(f,?0)?e?1,(f,?1)?1,?2?02?1,?12?,22131?2??a0??e?1??????? 1??a1??1??3??a0?0.1878从而解得?故f(x)关于??span?1,x?的最佳平方逼近多项
?a1?1.6244式为
S*(x)?a0?a1x?0.1878?1.6244x
1(3)?f(x)?cos?x,x?[0,1]若(f,g)??f(x)g(x)dx且?0?1,?1?x,，则有
0?02?1,?12?,1(?0,?1)?,2(f,?0)?0,(f,?1)???a0?1.2159 ??a1??0.243172213则法方程组为
2?2,??1??1??21??0??a??20?????2?1??a1????2??????3?从而解得
故f(x)关于??span?1,x?的最佳平方逼近多项式为
2S*(x)?a0?a1x?1.2159?0.24317x
(4)?f(x)?lnx,x?[1,2]若(f,g)??f(x)g(x)dx且?0?1,?1?x,则有
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