123343?R2(x)?e4?h?eh.若截断误差不超过10?6，则
62733R2(x)?10?6343eh?10?6 27?h?0.0065.?7．若yn?2n,求?4yn及?4yn.，解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
yn?2n?4yn?(E?1)4yn
?4???(?1)j??E4?jynj?0?j?4?4???(?1)j??y4?n?jj?0?j?4 j?4?4?j??(?1)??2?ynj?0?j??(2?1)4yn4 ?yn?(E?E)yn
412?124?(E)(E?1)4yn?E?2?4yn?yn?2?2n?2?124
?yn?2n8．如果f(x)是m次多项式，记?f(x)?f(x?h)?f(x)，证明f(x)的k
阶差分?kf(x)(0?k?m)是m?k次多项式，并且?m?1f(x)?0（l为正整数）。
解：函数f(x)的Taylor展式为
f(x?h)?f(x)?f?(x)h?11(m)1f??(x)h2???f(x)hm?f(m?1)(?)hm?1 2m!(m?1)!其中??(x,x?h)又?f(x)是次数为m的多项式
?f(m?1)(?)?0??f(x)?f(x?h)?f(x)
?f?(x)h?11(m)f??(x)h2???f(x)hm??f(x)为m?1阶多项式 2m!?2f(x)??(?f(x))??2f(x)为m?2阶多项式
依此过程递推，得?kf(x)是m?k次多项式??mf(x)是常数?当l为正整数时，?m?1f(x)?0 9．证明?(fkgk)?证明?(fkgk)?
fk?gk?gk?1?fk
fk?1gk?1?fkgk
?fk?1gk?1?fkgk?1?fkgk?1?fkgk?gk?1(fk?1?fk)?fk(gk?1?gk)?gk?1?fk?fk?gk?fk?gk?gk?1?fk
10．证明?fk?gk?k?0n?1fngn?f0g0??gk?1?fkk?0n?1
证明：由上题结论可知
fk?gk??(fkgk)?gk?1?fk
??fk?gkk?0n?1n?1??(?(fkgk)?gk?1?fk)k?0n?1
???(fkgk)??gk?1?fkk?0k?0n?1??(fkgk)?fk?1gk?1?fkgk???(fkgk)k?0n?1
?(f1g1?f0g0)?(f2g2?f1g1)???(fngn?fn?1gn?1)?fngn?f0g0??fk?gk?fngn?f0g0??gk?1?fkk?0k?0n?1n?1
11．证明??2yj??yn??y0
j?0n?1证明??j?0n?12yj??(?yj?1??yj)
j?0n?1
?(?y1??y0)?(?y2??y1)???(?yn??yn?1)??yn??y0
12．若f(x)?a0?a1x???an?1xn?1?anxn有n个不同实根x1,x2,?,xn， 证明：?j?1nxk?0,0?k?n?2;j???1 ?f(xj)?n0,k?n?1证明：?f(x)有个不同实根x1,x2,?,xn且f(x)?a0?a1x???an?1xn?1?anxn
?f(x)?an(x?x1)(x?x2)?(x?xn)令?n(x)?(x?x1)(x?x2)?(x?xn)
则?j?1nnxkxkjj??
?(xj)f?(xj)j?1an?n?(x)?(x?x2)(x?x3)?(x?xn)?(x?x1)(x?x3)?(x?xn) 而?n
???(x?x1)(x?x2)?(x?xn?1)
?(xj)?(xj?x1)(xj?x2)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn) ??n令g(x)?xk,
nxkxkjg?x1,x2,?,xn???则g?x1,x2,?,xn???j
?(xj)?(xj)j?1?nj?1?nnnnxkxk?0,0?k?n?2;1jj?g?x1,x2,?,xn??????1
?f?(xj)anf(x)j?1j?n0,k?n?1又??j?113．证明n阶均差有下列性质：
（1）若F(x)?cf(x)，则F?x0,x1,?,xn??cf?x0,x1,?,xn?; （2）若F(x)?f(x)?g(x),xn??fx?0x,，则F?x0,x1,?n1,?,xngxx,,,?.n???01x?
f(xj)证明：（1）?f?x1,x2,?,xn???
j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)F(xj)F?x1,x2,?,xn???j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)n
cf(xj)??
(x?x)?(x?x)(x?x)?(x?x)j?0j0jj?1jj?1jnnf(xj)?c(?) j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)n
(2)?F(x)?f(x)?g(x)
?cf?x0,x1,?,xn?
F(xj)?F?x0,?,xn???
(x?x)?(x?x)(x?x)?(x?x)j?0j0jj?1jj?1jnn
?得证。
f(xj)?g(xj)?? j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)nf(xj)??)
(x?x)?(x?x)(x?x)?(x?x)j?0j0jj?1jj?1jnng(xj)) +?j?0(xj?x0)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)n?f?x0,?,xn??g?x0,?,xn?
01701814．f(x)?x7?x4?3x?1,求F??2,2,?,2??及F??2,2,?,2??。
解：?f(x)?x7?x?3x?1若xi?2,i?0,1,?,8则
4if(n)(?) f?x0,x1,?,xn??n!f(7)(?)7!f(8)(?)?f?x0,x1,?,x7????1f?x0,x1,?,x8???0
7!7!8!15．证明两点三次埃尔米特插值余项是
R3(x)?f(4)(?)(x?xk)2(x?xk?1)2/4!,??(xk,xk?1)
解：若x?[xk,xk?1]，且插值多项式满足条件
?(xk)?f?(xk) H3(xk)?f(xk),H3?(xk?1)?f?(xk?1) H3(xk?1)?f(xk?1),H3插值余项为R(x)?R?(xk)?R?(xk?1)?0
f(x)?H)值条件可知R(xk)?R(xk?1)?0且3(x由插
?R(x)可写成R(x)?g(x)(x?xk)2(x?xk?1)2其中g(x)是关于x的待定函
数，
现把x看成
[xkx,k?1]的一个固定点，作函数上
?(t)?f(t)?H3(t)?g(x)(t?xk)2(t?xk?1)2
根据余项性质，有?(xk)?0,?(xk?1)?0
?(x)?f(x)?H3(x)?g(x)(x?xk)2(x?xk?1)2?f(x)?H3(x)?R(x)?0?(t)?g(x)[2(t?xk)(t?xk?1)2?2(t?xk?1)(t?xk)2]???(xk)?0 ??(t)?f?(t)?H3
??(xk?1)?0由罗尔定理可知，存在??(xk,x)和??(x,xk?1)，使
??(?1)?0,??(?2)?0即??(x)在[xk,xk?1]上有四个互异零点。根据罗尔定
理，故???(t)在(xk,xk?1)内???(t)在??(t)的两个零点间至少有一个零点，至少有三个互异零点，依此类推，?(4)(t)在(xk,xk?1)内至少有一个零点。
记为??(xk,xk?1)使?(4)(?)?又?H3(4)f(4)(?)?H3(4)(?)?4!g(x)?0
f(4)(?)(t)?0?g(x)?,??(xk,xk?1)其中?依赖于x
4!f(4)(?)?R(x)?(x?xk)2(x?xk?1)2
4!分段三次埃尔米特插值时，若节点为xk(k?0,1,?,n)，设步长为h，即xk?x0?kh,k?0,1,?,n在小区间[xk,xk?1]上
f(4)(?)R(x)?(x?xk)2(x?xk?1)24! 1(4)?R(x)?f(?)(x?xk)2(x?xk?1)24!