设u?故
1899,y?f(30)则u*???????????u*??????4
2??y*??????????????*??u?*???u1???u*?0.0167???????????????3
若改用等价公式ln(x?此时，
??y*???????????*???u?*???ux2?1)??ln(x?x2?1)则f(30)??ln(30?899)
1???u*?59.9833???????????7
第二章 插值法
1．当x?1,?1,2时，f(x)?0,?3,4,求f(x)的二次插值多项式。 解：
x0?1,x1??1,x2?2,f(x0)?0,f(x1)??3,f(x2)?4;l0(x)?l1(x)?l2(x)?(x?x1)(x?x2)1??(x?1)(x?2)
(x0?x1)(x0?x2)2(x?x0)(x?x2)1?(x?1)(x?2)(x1?x0)(x1?x2)6(x?x0)(x?x1)1?(x?1)(x?1)(x2?x0)(x2?x1)32则二次拉格朗日插值多项式为L2(x)??yklk(x)
k?0??3l0(x)?4l2(x)
14??(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1) 23537?x2?x?6232．给出f(x)?lnx的数值表 X lnx 0.4 -0.916291 0.5 -0.693147 0.6 -0.510826 0.7 -0.356675 0.8 -0.223144 用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。 解：由表格知，
x0?0.4,x1?0.5,x2?0.6,x3?0.7,x4?0.8;f(x0)??0.916291,f(x1)??0.693147f(x2)??0.510826,f(x3)??0.356675f(x4)??0.223144
若采用线性插值法计算ln0.54即f(0.54)， 则0.5?0.54?0.6
l1(x)?l2(x)?x?x2??10(x?0.6)x1?x2x?x1??10(x?0.5)x2?x1
L1(x)?f(x1)l1(x)?f(x2)l2(x) ?6.93147(x?0.6)?5.10826(x?0.5)
?L1(0.54)??0.6202186??0.620219
若采用二次插值法计算ln0.54时，
l0(x)?l1(x)?l2(x)?(x?x1)(x?x2)?50(x?0.5)(x?0.6)(x0?x1)(x0?x2)(x?x0)(x?x2)??100(x?0.4)(x?0.6)(x1?x0)(x1?x2) (x?x0)(x?x1)?50(x?0.4)(x?0.5)(x2?x0)(x2?x1)L2(x)?f(x0)l0(x)?f(x1)l1(x)?f(x2)l2(x)
??50?0.916291(x?0.5)(x?0.6)?69.3147(x?0.4)(x?0.6)?0.510826?50(x?0.4)(x?0.5)?L2(0.54)??0.61531984??0.615320
3．给全cosx,0??x?90?的函数表，步长h?1??(1/60)?,若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。解：求解cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。当0??x?90?时， 取x0?0,h?(1?1?? )???606018010800令xi?x0?ih,i?0,1,...,5400则x5400??2?90?
f(xk)x?xk?1x?xk?f(xk?1)xk?xk?1xk?1?xk当x??xk,xk?1?时，线性插值多项式为L1(x)?插值余项为R(x)?cosx?L1(x)?
1f??(?)(x?xk)(x?xk?1)2
又?在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosx??0,1?，故计算中有误差传播过程。
1??(f*(xk))??10?52R2(x)??(f*(xk))??(f*(xk))(x?xk?1x?xk?1??(f*(xk?1))xk?xk?1xk?1?xkx?xk?1x?xk?1?)xk?xk?1xk?1?xk
1??(f*(xk))(xk?1?x?x?xk)h??(f*(xk))?总误差界为
R?R1(x)?R2(x)1(?cos?)(x?xk)(x?xk?1)??(f*(xk))21??(x?xk)(xk?1?x)??(f*(xk))2 11??(h)2??(f*(xk))221?1.06?10?8??10?52?0.50106?10?5?4．设为互异节点，求证： （1）?xlj?0nkjj(x)?xk
(k?0,1,?,n);（2）?(xj?x)klj(x)?0
j?0n(k?0,1,?,n);
证明(1)令f(x)?xk若插值节点为xj,j?0,1,?,n，则函数f(x)的n次插值多项式为
Ln(x)??xkjlj(x)j?0n。插值余项为
f(n?1)(?)Rn(x)?f(x)?Ln(x)??n?1(x)
(n?1)!又?k?n,n?f(n?1)(?)?0?Rn(x)?0k??xkjlj(x)?x j?0n (k?0,1,?,n);
(2)?(xj?x)klj(x)j?0??(?Ckjxij(?x)k?i)lj(x)
j?0ni?0iknn??C(?x)(?xijlj(x))k?ii?0j?0n又?0?i?n
nkjji 由上题结论可知
?xl(x)?x
j?0?原式??Cki(?x)k?ixii?0n?(x?x)k?0
?得证。
5设f(x)?C2?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证：
1maxf(x)?(b?a)2maxf??(x). a?x?ba?x?b8解：令x0?a,x1?b，以此为插值节点，则线性插值多项式为
L1(x)?f(x0)x?x1x?x0?f(x1)x0?x1x?x0 =?f(a)x?bx?a ?f(b)a?bx?a1f??(x)(x?x0)(x?x1) 2又?f(a)?f(b)?0?L1(x)?0插值余项为R(x)?f(x)?L1(x)??f(x)?1f??(x)(x?x0)(x?x1) 2又?(x?x0)(x?x1)?1????(x?x0)?(x1?x)???2?12maxf(x)?(b?a)maxf??(x). ?1a?x?ba?x?b28?(x1?x0)41?(b?a)2426．在?4?x?4上给出f(x)?ex的等距节点函数表，若用二次插值求
ex的近似值，要使截断误差不超过10?6，问使用函数表的步长
h
应取多少？
解：若插值节点为xi?1,xi和xi?1，则分段二次插值多项式的插值余项为
1f???(?)(x?xi?1)(x?xi)(x?xi?1)3!1?R2(x)?(x?xi?1)(x?xi)(x?xi?1)maxf???(x)?4?x?46R2(x)?xi?1?xi?h,xi?1?xi?h
设步长为h，即