进行了KED分析。北京工业大学的梁浩等针对ANSYS和ADAMS的特点,首次将ADAMS 及ANSYS结合,建立了柔性机器人动力学仿真系统。他们通过模态中性文件结合ADAMS及ANSYS,按功能将此系统分成模块进行一次开发,省去复杂的建模及编程工作。在此基础上,他们建立了两个三臂机器人协调操作的算例,运用ANSYS进行有限元分析,提取机械臂的模态,并将结果转换成ADAMS可以识别的模态中性文件(Modal Neutral File,再运用ADAMS进行动力学分析。
从迄今已发表的文章可以看出,机器人机构的弹性动力学研究大致可分为两类: 1. 运用有限元理论,将各构件简化成梁单元或板单元,忽略关节弹性的影响,或把关节处传动系统简化成一个关节刚度计入整体刚度矩阵,从而建立机器人弹性动力学方程。
2. 除传动系统外的构件均作为刚体,只建立各传动系统的弹性动力学方程。 由上所述可知:当前的运动建模理论和方法,都进行了如下简化: 1. 线性化、刚性化和集中质量法;
2. 简化机器人系统各部件截面形状,忽略复杂材质特性的影响,将机器人复杂的结构抽象成一个用铰链进行单纯连接的简单刚性骨架;
3. 简化运动关系,忽略机器人俯仰、横滚和偏航等方向运动的耦合。 这些简化和抽象有利于凸现运动特性中的主要问题,获得机器人控制的普遍规律,建立通用的、经过必要线性化后就能进行显式求解并运用到运动规划和控制中的数学模型,这对机器人的初期研究是必要的,也是一种重要且有效的研究方法。
2. 常用动力学研究方法简介
目前,研究机器人动力学的方法很多,有拉格朗日(Lagrange方法、牛顿-欧拉(Newton-Euler方法、高斯(Gauss方法、凯恩(Kane方法、罗伯逊-魏登堡法、旋量方法等。其中以牛顿-欧拉法和拉格朗日法运用较多,本文采用牛顿-欧拉方法对机器
人进行动力学分析。随着动力学分析方法的不断发展和计算机技术水平的提高,到目前为止,分析机械零、部件动力学问题的有限元方法和商品化软件也已相当完善。
2.1 拉格朗日(Lagrange 方法
Lagrange 方法是典型的分析力学方法,它把整个系统看作统一的对象,并用统一的方法加以研究,采用整个物理学中所共有的物理量(能量和功作为力学本身的基本物理量,并以此为根据,建立运动的基本方程。这种表述广泛采用广义坐标(及其共轭变量—广义动量来描述系统的运动状态。其代表人物有M.A.chace 和E.J.Haug 等。一般来说,根据Lagrange 方程建模的步骤是
1选定广义坐标,建立有限维模型,一般选择关节变量和柔性连杆的模态坐标为广义坐标;
2建立动能、势能表达式;
3对Lagrange 方程进行必要的推导和整理. 柔性机械手的一般动力学方程可以写成如下形式 M C K Q φ
φφ++= 式中:M 为系统的质量矩阵;C 为系统的阻尼矩阵;K 为系统的刚度矩阵;Q 为系统的广义力阵列。
设机械系统有n 个自由度,它的n 个独立的广义坐标为θ。拉格朗日方程如下: 1,2,i i d L L i i n dt τθθ????-==??????
式中L=T-V 称为拉格朗日函数,i θ为广义坐标列向量 拉格朗日方程经过整理计算,可以得到如下形式:
1,1(((n n ij j ijk j k i
j j k i V M θθθθθθτθ==?+Γ+=?∑∑ , 式中(V θ为势能函数。 可以改写为: ((,(,M C N θθ
θθθθθτ++= 式中τ为驱动力矩矢量,(,N θθ
包括重力和作用于关节的其他力。上式是描述机器人运动的二阶矢量微分方程,它是关节力矩的函数。
2.2 凯恩(Kane 方法和虚功原理
Kane 方程描述为,对应于每一个广义速率的广义主动力与广义惯性力之和等于零.即
'0(1,,6i i F F l n +==+
式中F 和'i F 分别为系统的广义主动力和广义惯性力,它们分别定义为 (1,,6i i i V F Z M l n y y ω??= ?+?=+?? '''(1,,6i i i
V F Z M l n y y ω??=?+?=+?? 式中Z 和'Z 分别为作用于系统上的主动力系和惯性力主矢;M 和'M 分别为上述力系向质心简化的主矩;V 为物体质心的速度;ω为物体转动的角速度。
其代表人物有Kane 、Huston .Kane 方法采用相对能量的形式,从约束质点系的D'Alembert 原理出发,将各体的主动力(矩和惯性力(矩乘以偏速度、偏角速度矢量,再对整个系统求和,系统自由度数目相同的方程组.其特点是可消除方程中的内力项,避免繁琐的微分运算,使推导过程较为系统化.虚功原理与Kane 方法类似。在Kane 方法中颇具特色的当推Kane-Huston 方法,此法采用低序体阵列描述系统的拓扑结构.张大钧、蒋铁英等人均用此法建立了柔性体动力学模型.薛克宗、赵平利用虚功原理建立了柔性多体系统的微分方程,利用基尔算法对方程组进行求解.边宇枢用Kane 方程和假设模态的方法对系统进行建模。
2.3 旋转代数法
旋转代数(the algebra of rotation 是一种新的运动学标记方法.采用不变量和向量形式来描述刚体的转动,将旋转代数用于机器人运动学,具有3个基本特征:描述刚性连杆转动的唯一性,描述一组刚性连杆运动的一致性以及描述刚性连杆末端运动的简洁性。因此,利用旋转代数法来研究柔性机械手的动力学建模问题不啻为一种切实可行的方法。
Xi 和Fenton 引入旋转算子(rotational operator cos [(1cos (]sin (z r r z r z r θθθθ?=?+-?+?
式中:z 为关节转轴单位向量;θ为绕轴的转角;r 为空间任何一点到刚性连杆上一点的向量.这样对于柔性机械手的方位,可以用两个向量来表示,一个向量代表机械手末端的转动,另一个代表位移,这两个向量本身又可进一步分解为刚性部分和柔性部分,从而最终得到描述对应刚性机械手方位的位移方程和柔性机械手相对于其刚性模拟机械手的末端偏移方程。
利用旋转代数法可以导出柔性机械手末端关节变量和连杆挠度之间映射关系的Jacobi矩阵,因而更容易分析系统的运动学和动力学特性,便于实施必要的控制策略。
可以看到,旋转代数法与刚性机械手建模过程中广泛应用的齐次变换法非常相似,因此,如果我们将柔性体的运动也分解为刚性运动和围绕刚性运动所做的相对弹性运动两部分,那么同样有可能应用齐次变换的方法来建立柔性机械手的动力学模型。
2.4 牛顿-欧拉(Newton-Euler方法
Newton-Euler方法简称N-E方法,是矢量力学的一种方法,应用质心动量定理和动量矩定理列出隔离的单个物体的动力学方程,方程中包含理想约束力(矩,然后以约束条件为依据消去约束力(矩。在动力学方程中出现了相临体间的内力项,其物理意义明确,并且表达了系统完整的受力关系,易于形成递推形式的动力学方程.目前该方法是动力学分析中用于实时控制的主要手段.Eric H K和Cedric K M Lee曾利用N-E方法对柔性连杆进行建模时,首先假定:
1柔性连杆的变形和连杆的长度比较起来非常小;
2假设柔性连杆是具有均匀截面和稳定性质的Euler-bernoulli梁; 3梁的转动惯量和剪切变形忽略不计; 4空气阻力和梁的内阻力忽略不计.
由理论力学可知,动力学普遍定理有三个:动量定理、动量矩定理、动能定理应用动力学普遍定理来建立机器人动力学方程的方法,是对每个刚体应用由动量定得出的质心运动定理,以及相对于质心的动量矩定理来建立起刚体动态的变化与作力之间的关系,具体来讲,就是刚体与其质心一起的平动规律决定于刚体上作用力主矢,而刚体相对于质心的转动规律决定于刚体作用力对质心的主矩。应用牛顿-欧拉方程来建立机器人机构的动力学方程,是指对质心的运动用牛顿方程,相对于质的转动用欧拉方程。在所有动力学分析方法中,牛顿-欧拉法是最常用的方法之一,它能够把力(力矩作为位置、速度和加速度的函数精确而迅速的计算出来,满足伺服统的速率和采样频率,实现实时计算。