用牛顿—欧拉方程分别建立各个单个刚体动力学方程的方法来建立系统的动力学方程。为此取每个刚体B i为研究对象进行受力分析。系统中所有铰链、弹簧、阻尼器和驱动器的质量可忽略不计,必要时附加在所联系的刚体上,不单独考虑。作用于刚体的力有重力、铰链约束力,有时还要考虑摩擦力。
将所有作用于刚体B i 上的主动力和约束反力分别向质心C i 简化,得到主动力主矢F a i 和主矩L a i ,以及约束反力F C i 和主矩L C i 。于是每个刚体的牛顿—欧拉方程动力学方程为:
a C i c i i c c a C i i i i i m v F F f I I L L n ω ωω?=+=???+??=+=?? 2.5 共性问题
柔性体的动力学建模无论采用何种方法,主要有以下共性的3个关键性的问题: 1参考坐标系的选择.参考坐标系的选择可以分为3类:浮动坐标系方法、随转坐标系法和惯性坐标系法.浮动坐标系方法是将多刚体动力学与结构动力学相结合的一种方法,这种方法使多刚体动力学软件扩展应用于柔性体系统成为可能,是目前应用最为广泛的一种方法.随转坐标系方法源于计算结构力学,随转坐标系随柔性体内部的每个单独的有限元的平均刚体运动而运动,这种方法被用于大位移、大转角和小应变结构的建模.惯性坐标系方法源于大变形非线性有限元和连续体力学原理,不再区分物体的刚性运动和变形,采用一致质量有限元对柔性体进行离散。
2柔性体变形模式的选择。柔性体具有无限自由度,其变形的描述是柔性臂系统建模与控制的基础,因此,选择好的描述方式,就能用较少的自由度得到较精确的结果。常用的有4种方法:有限元法、有限段法、模态综合法、集中质量法。有限元法实质上就是把无限个自由度的连续体理想化为有限个自由度的单元集合体,使问题简化为适合于数值分析的结构型问题,以节点的弹性位移作为广义坐标,在节点之间建立起关于节点广义坐标的弹性位移场或形函数,并以此假设导出单元的动力学方程,进一步把单元的动力学方程装配成系统的动力学方程。其特点是采用柔性单
元、刚性节点、载荷向节点移置、刚度及阻尼特性由单元表征。有限段法适合于含有细长零件的系统,将细长件分为有限刚性段,将柔性引入到系统的各结点中,即把柔性系统描述为多个刚体,以含有弹簧和阻尼器的节点相连。模态综合法通过求解自由振动的特征值得到动态模态,利用模态截断技术,采用系统中各个子结构的模态,综合的出系统的整个模态。集中质量法用若干离散节点上的集中质量代替原来系统中的分布质量,即全部质量都集中到各个节点上,形成集中质量和集中转动惯量,在这些集中质量之间用无质量的弹性元件连接,用这些点处的有限个自由度代替了连续体的无限个自由度。
3约束问题。实际上就是如何处理好约束条件的问题,当系统运动时,必须满足 约束条件。对于系统约束,Lagrange 方法通过未定乘子将系统约束和约束反力结合在一起,既描述了约束的运动限定作用也揭示了约束的力学特性。但该方法增加了系统动力学方程数目。Newton-Euler 方法以力的模式来解决,这不便于对受约束系统的研究。而Kane 方程利用待定乘子解决约束问题并应用正交矩阵减少系统动力学方程的数目。 所以上述方程的建立方法,也主要是这几个方面的采用的方法不同。
2.6 不同之处
1Lagrange 方程最大的特点是推导繁琐,如柔性臂无穷维分布参数模型的描述和简化问题,采用的数学方法不同,力学原理不同,得到的模型就有很大不同,和实际系统的误差大小也就不同。但同时在应用过程中它的优点是编制程序方便.它可以很方便地采用C 、Fortran 、Pascal 等高级语言编写符号演算程序;也可以应用通用的商业软件如Ansys 、Adams 等直接进行通用符号的软件运算。
2Newton-Euler 方法由于所导出的动力学方程中含有大量的相邻体不需要的未知理想约束反力,随之产生的一个主要问题是如何自动消除约束反力/力矩。因此限制了它的应用。
3Kane 方法形式简洁,避开了动力学函数的微分运算,而且可自动消除系统内不做功的内力,可方便地实现动力学方程的计算机符号推导与编程。兼有矢量力学和分析力学的的优点,但是它不直观。
3. 柔性机器人动力学应用实例 3.1 坐标系定义
如图1 所示为柔性机械手的任一中间杆i ,建立坐标系如图。其中OX Y Z 为惯性系, oi x iyiz i 为动参考系(刚性附着框架 ,其中x i 轴沿变形前第i 杆的轴线, i 杆上任意点质量微元d m 在惯性系中的位置向量为
i i i i i oi i i r = R + P = R + A ( r + e + u (1
式中, i R 为动参考系原点在惯性系中的向径; i P 为点质量微元在动参考系o i x i y i z i 中的向径; oi r 为变形前点质量微元在动参考系o i x i y i z i 中的向径;i e 为oi r 处截面上任一微面积ds 到截面中心的距离; i A 为由o i x i y i z i 到OX Y Z 的坐标变换矩阵; i u 为微元dm 的变形。
Z x
图1 坐标系的选择 由振动理论可知,变形Ui 可以表示为由一组模态形状函数与其坐标的乘积,即
i ai bi
i i u =[e ]ai bi i q q q ΦΦ????ΦΦΦ???????? (2 式中ai Φbi Φi ΦΦ为纵横及扭转振动的模态函数列阵; ai q bi q i q Φ为对应的模态坐标向
量。 令[]ci ai bi Φ=ΦΦ, []T ci ai bi q q q = (3 则式(2可改写为 i []ci i ci i i q u e q ΦΦ??=ΦΦ?????? (4 式(4 ci Φ包括纵横弹性振动模态,以后提及弯扭耦合时,系指横向与扭转,纵向与扭转的耦合。
通过以上改写,将式(1 写成矩阵式为:
[]i i i oi i ci ci i i i r R A r e q e q ΦΦ=+++Φ+Φ (5 对式(5 求导,得点质量微元的速度:
Vi = ri = Ri + Ai (roi + ei + Φ ci qci + ei Φ Φi qΦi + Ai (Φ ci qci + ei Φ Φi qΦi = Ri
（6） = [ I D i Ai Φ ci 式中： D i = ∑ Aθ i ρi i =1
n ， Aθ i = n ? ?Ai Ai = ∑ Aθ i θi ?θi ， i =1 （7） θi 为机械手第 i 个中间杆的转角。I 为单位矩阵。令: Φ ri = [ I Di ] ， qri = [ Ri θi ]T （8） 此为刚体运动部分的模态函数及其模态坐标,因而式(6 可写为: ? Vi = ri =[Φ ri Ai Φ ci A i ei Φ Φ
（9） 3.2 系统动能 T= ∑ Ti i=1 n 系统动能等于
各杆的动能之和。即 对于任意形状的机械臂柔性中间杆,有 Ti = ∫ dTi 0 li （10） dTi = ， 1 T ∫∫ rVi Vi dsdli 2 s （11） 式中, dTi 为第 i 杆上厚度为 dli 的截面所具有的动能。γ 为单位体积的密度; S 为 截面面积。 1 Ti = ∫ ∫ rVi ds dli 20s = 1 r[qri qci 2
（12）
注意到广义坐标与上述积分无关,则式(12 可写为
（13） 将式（13）代入
式（10）得系统动能为 T = ∑ Ti = i =1 n 1 T q Mq 2 （14） 式中, q = [ R1 Q1 qa1 qb1 qc1 , ???, Rn Qm qbn qbn qcn ]T 为系统的广义坐标量， qai , qbi , qci 分别为第 i 杆的纵、横及扭振动的模态坐标。 3.3 系统势能 系统势能包括弹性势能及重力势能。 1 弹性势能 U U = ∑U i i =1 n (15 式中, U i 为第 i 杆的弹性势能。 由铁模辛柯梁理论,对于具有扭转变形的铁模辛柯梁,考虑其剪切变形影响时,其弹性 2 2 2 li
势能为
式中， Wi 为纵向
变形， Vi 为横向变形， φi 为扭转角。 由前述： Wi = φ ai qai ， Vi = φ ai qbi ， φi = φ ai qφi (17 将式（17）代入式（16）中
（18） = 式
中， 1 T q fi K i q fi 2 为描述变形运动的广义坐标； q fi = (qai qbi qφi T 将（18）式代入（15）式得系统势能为 U = ∑ ui = i =1 n 1 T q Kq 2 （19） 2）重力势能 考察图 1 所示 i 杆上的任一点质量微元,它在惯性系中的重力势能可 dVgi = ? μ g T Ai ρi dli 表示为 （20） 式中，μ 为 i 杆单位长度的质量；g T 为重力加速列阵；ρi 为点质量微元在 oi xi yi zi 中 的位置列阵。 将 ρj 代入式（20）得： dVgi = ? μ gT Ai (r oi + φi q fi dli （21） （22） 积分（21）得： 式中： Vgi = ? μ g T Ai roi ? g T Aiε i μ roi 为质心到 oi 的位置列阵。 ε i = ∫ μφi q fi dli 0 n n li （23） 故系统重力势能为： Vg = ∑ Vgi = ? g T ∑ Ai (mrci + ε i i =1 i =1 （24） 3.4 广义外力 广义外力可由虚功原理求得。设作用在第 i 杆上的外力主失为 Fi ,主矩为 Mi ,扭矩 为 Ti ,则由虚功原理可得：
δ wi = Qi δ qi = Fi δ ri + M iδ θ i + Ti δ qφi 式中, Qi 为广义外力。 对式(5 取变分得： δ ri = δ Ri + Aai Pi δ θ i + ei Ai φ ci δ qci + Ai φ qi δ qφi 将(27 代入(26 得 Qi δ qi = Fi δ Ri + Fi Aai φ ρi + M i δ θ i + Fi Ai φ ci δ q ci + Fi ei Ai φφ + Ti δ qφ i = Fi M i f i
Ti δqi (25 (26 ( ( [ ] T (27 式中 M i = Fi Aθi ρ i + M i ; f i = Fi Ai φ ci ; Ti = Fi ei Ai φφi + Ti 比较(27 式两端得广义外力为 Qi = Fi M i f i C i (28 (29 (30 [ ] T 则系统广义外力为 Q = F M 1 f T [ ] T 3.5 系统动力学方程 拉氏方程为
式中, L = T - V 为拉氏函数。将式(15 、式(20 、式(25 、式(30
代入式(31 可得柔 性机械手系统动力学方程为 M q + K q = Q + p 式中, p = ? ( T ? Vg ?q ?Mq Aq = B (32 (33 (34 令: M = A, B = Q + p + k p ，则(33改写为 式(34 即为柔性机械手系统动力学方程,它适宜于任何形式的机械手,其中包括了由 弹性变形引起的哥氏力。