令bn?anSn，数列{1}的前n项和为Tn. bn（1）求?an?的通项公式和Sn； （2）求证：Tn?1； 3（3）是否存在正整数m,n，且1?m?n，使得T1,Tm,Tn成等比数列？若存在，求出m,n的值，若不存在，说明理由.
23、（理）解：（1）因为f(x)?x?m,当x?[an?1,bn?1]时,f(x)为单调增函数, 所以其值域为[an?1?m,bn?1?m] ????2分
????6分
于是an?an?1?m,bn?bn?1?m(n?N*,n?2) ????4分 又a1?0,b1?1,所以an?(n?1)m,bn?1?(n?1)m.
（2）因为f(x)?x?mf(x)?kx?m(k?0),当x?[an?1,bn?1]时,f(x)为单调增函数 所以f(x)的值域为[kan?1?m,kbn?1?m],因m?2,则bn?kbn?1?2(n?2)??8分 法一：假设存在常数k?0，
使得数列{bn}满足limbn?4,则limbn?klimbn?1?2，????10分
n??n??n??得4?4k?2,则k?1符合。????12分 2n??法二：假设存在常数k＞0，使得数列{bn}满足limbn?4.当k=1不符合。??7分
22?k(bn?1?)(n?2)，????9分 k?1k?12221)kn?1?,当0?k?1时,limbn??4,得k?符合.则bn?(1?n??k?1k?11?k2
当k?1时,bn?kbn?1?2(n?2)?bn? ????12分
（3）因为k?0,当x?[an?1,bn?1]时,f(x)为单调减函数,所以f(x)的值域为
[kbn?1?m,kan?1?m] ????13分
于是an?kbn?1?m,bn?kan?1?m(n?N*,n?2)则bn?an??k(bn?1?an?1) ????14分 因此?bn?an?是以?k为公比的等比数列，
?i,(k??1)?又b1?a1?1则有Ti?Si??1?(?k)i ????16分
,(k?0,k??1)??1?k
进而有
2027091,(k??1)??k?k2014 (T1?T2???T2013)?(S1?S2???S2013)??2013?2014,(k?0,k??1)?(1?k)2?????18分
（文）解：（1）设数列?an?的公差为d，由a3?a1?2d?7,
a1?a2?a3?3a1?3d?12.解得a1?1，d=3 ， ?????2分
∴an?3n?2 ?????4分 ∵f(x)?x3， ∴Sn=f
（2）bn?anSn?(3n?2)(3n?1) ∴ ∴Tn?
（3）由(2)知，Tn?比数列. ∴ (?3an?1=an?1?3n?1. ?????6分
?11111??(?) ?????8分 bn(3n?2)(3n?1)33n?23n?1111(1?)? ?????10分 33n?13n1mn ∴T1?,Tm?，Tn?，∵T1,Tm,Tn成等3n?143m?13n?1m21n)? ?????12分 3m?143n?1
即
6m?13n?4? 2nm3n?4133n?4?，n=1，不合题意；当m?2时，，n=16，符合题意；
n4n193n?4253n?4??当m?3时，，n无正整数解；当m?4时，，n无正整数解；
169nn313n?4373n?4??当m?5时，，n无正整数解；当m?6时，，n无正整数解； 2536nn当m?1时，7??????15分
当m?7时，m?6m?1?(m?3)?10?0 ，则
所以，此时不存在正整数m,n,且1 综上，存在正整数m=2,n=16,且1 226m?13n?44?1?3??3，，而 2nnm 另解： （3）由(2)知，Tn?n1mn ∴T1?,Tm?，Tn? 3n?143m?13n?1m21n)??∵T1,Tm,Tn成等比数列. ∴ (， ?????12分 3m?143n?1 取倒数再化简得 当m?2时， 6m?13n?4? 2nm133n?4?，n=16，符合题意； ?????14分 4n2 116m?161?119?m?3时,0??,????3?9??3， ??22m3mmm?m?9 而 所以，此时不存在正整数m、n , 且1 3n?44?3??3， nn 综上，存在正整数m=2,n=16,且1 Sn?2an?1． （1）求数列?an?的通项公式； 012n（2）求和S1?Cn； ?S2?Cn?S3?Cn???Sn?1?Cn（3）设有m项的数列?bn?是连续的正整数数列，并且满足： lg2?lg(1?111)?lg(1?)???lg(1?)?lg(log2am)． b1b2bm问数列?bn?最多有几项？并求这些项的和． 22、（16分）解：（1）由Sn?2an?1得Sn?1?2an?1?1，相减得an?1?2an?1?2an，即 an?1?2an． 又S1?2a1?1，得a1?1?0， ?数列?an?是以1为首项2为公比的等比数列，?an?2n?1．??????????????????5分 （2）由（1）知Sn?2n?1． 0101?S1?Cn?S2?Cn?S3?Cn2???Sn?1?Cnn?(21?1)?Cn?(22?1)?Cn?(23?1)?Cn2??(2n?1?1)?Cnn 012n012n?2(Cn?2Cn?22Cn???2nCn)?(Cn?Cn?Cn???Cn)?2(1?2)n?2n?2?3n?2n ??????????????????10分 （3）由已知得2?b1?1b2?1b?1????m?m?1． b1b2bm2(bm?1)?m?1．?? b1又?bn?是连续的正整数数列，?bn?bn?1?1．?上式化为又bm?b1?(m?1)，消bm得mb1?3b1?2m?0． m?3b16?，由于m?N，?b1?2，?b1?3时，m的最大值为9. ?3?b1?2b1?2此时数列的所有项的和为3?4?5???11?63????????16分 （崇明县2013届高三一模）21、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分） 已知数列?an?，记A(n)?a1?a2?a3????????an, B(n)?a2?a3?a4????????an?1, C(n)?a3?a4?a5????????an?2, (n?1,2,3,......)，并且对于任意n?N?，恒有an?0成立． （1）若a1?1,a2?5，且对任意n?N?，三个数A(n),B(n),C(n)组成等差数列，求数列?an?的 通项公式； （2）证明：数列?an?是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n?N?，三个数 A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列． 21、解：（1）2B(n)=A(n)+C(n) ?an+2-an?1=a2-a1=4,n?N*，所以{an}为等差数列。 ?an=4n-3,n?N* （2）（必要性）若数列{an}是公比为q的等比数列，则 B(n)a2+a3++an+1==q，A(n)a1+a2+anC(n)a3+a4++an+2==q，所以A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列。 B(n)a2+a3+an+1（充分性）：若对于任意n?N，三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列， 则B(n)?qA(n),C(n)?qB(n)， 于是C(n)?B(n)?q?B(n)?A(n)?,得an?2?a2?q(an?1?a1),即 ?an?2?qan?1?a2?a1. 由n?1有B(1)?qA(1),即a2?qa1，从而an?2?qan?1?0. 学科网ZXXK] 来源 因为an?0，所以 an?2a2??q，故数列?an?是首项为a1，公比为q的等比数列。 an?1a1