综上，数列{an}是公比为q的等比数列的充要条件是对任意的n?N，都有A(n)、B(n)、C(n)组成公比为q的等比数列。
（嘉定区2013届高三一模 理科）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn?1?pSn?q（n?N，p、q为常数），a1?2，
**a2?1，a3?q?3p．
（1）求p、q的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
Sn?m2m（3）是否存在正整数m，n，使得成立？若存在，请求出所有符?mSn?1?m2?1合条件的有序整数对(m,n)；若不存在，请说明理由．
22．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
?S2?pa1?q（1）由题意，得?，??（2分）
S?pS?q2?31?p??3?2p?q?即? ，解得?2 ．????（4分） ?3?q?3p?3p?q??q?21（2）由（1）知，Sn?1?Sn?2 ①
21当n?2时，Sn?Sn?1?2 ② ????（1分）
211①－②，得an?1?an（n?2），又a2?a1，????（3分）
221所以数列{an}是首项为2，公比为的等比数列．????（4分）
2?1?*所以{an}的通项公式为an???（n?N）．????（6分）
?2?1??（3）由（2），得Sn?4?1?n?，????（1分）
?2?n?2
1??41??m?n?Sn?m2m2m(4?m)?2n?42m2??由，得，即， ?m?m?mn1?2?1Sn?1?m2?1(4?m)?2?22?1?4?1?n?1??m?2?21m即．因为2?1?0，所以(4?m)?2n?2， ?nm(4?m)?2?22?1所以m?4且2?(4?m)?2n?2m?1?4， （*）
*因为m?N，所以m?1或2或3．????????（2分）
n当m?1时，由（*）得2?3?2?8，所以n?1； ????（3分）
n当m?2时，由（*）得2?2?2?12，所以n?1或2； ????（4分）
n当m?3时，由（*）得2?2?20，所以n?2或3或4． ????（5分）
综上可知，存在符合条件的正整数m、n，所有符合条件的有序整数对(m,n)为：
(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,2)，(3,3)，(3,4)． ????（6分）
（宝山区2013届期末）23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f，直线(1?x)?f(1?x)被f(x)的图像截得的弦长为417，数列?an?满足ag()x?4(x?1)1?2，
* aa?gaf?a?0n?N????????n?1nnn（1）求函数f(x)的解析式； （2）求数列?an?的通项公式；
?3fa?ga（3）设b，求数列?bn?的最值及相应的n ????nnn?1223 解：（1）设f(x)?a?x?1??a?0?，则直线g(x)?4(x?1)与y?f(x)图像的两个交点
为（1，0），?16??4?1，? ???????????????????2分 ?aa?
2?4??16? ???????417?a?0?，? ??????4分 a?1，fx()?x?1???a??a?22 （2）f a?a?1，ga?4a?1????????nnnn2 ? a?a·41a??a?1?0??????n?1nnn2 ? ???????????????5分 a?14a??31a?0???nn?1n? ?????????????6分 a?2，?a?1，4a?3a?1?01nn?1n ? a?1??a?1，a?11??n?1n1 数列?a1?是首项为1，公比为n?n?1343的等比数列???????????8分 433???? ????????????????10分 a?1?，a?1??nn???????44n?12n?1?n?12n????32?????3???3??3??3a??1a?1 （3）b?3?????4???3????????? ??4??nnn?1?4?????4????4????4??????n?1?3?令b?y，u???n?4?n?122?????1?1?1?3， 则y?3u?????3u???????12分 ???????4242????392791*，?的值分别为1，，，??，经比较距最近， ?n?Nu41664162189∴当n时，bn有最小值是?，??????????????15分 ?3256当n?时，bn有最大值是0 ????????????????18分 1
n?1??（奉贤区2013届高三一模）22、（文）等比数列满足，n?N，cc?c?10?4nn?1n．．．．
*数列?an?满足cn?2n
a
（1）求?an?的通项公式；（5分） （2）数列?bn?满足bn?1，Tn为数列?bn?的前n项和．求limTn；（5分）
n??an?an?1（3）是否存在正整数m,n?1?m?n?，使得T1,Tm,Tn成等比数列？若存在，求出所有m,n
的值；若不存在，请说明理由．（6分）
22、解：（1）解：c1?c2?10,c2?c3?40，所以公比q?4 2分
c1?4c1?10计算出c1?2 3分
cn?2?4n?1?22n?1 4分 ?an?2n?1 5分
（2）bn?于是Tn?1?11???? 6分
2?2n?12n?1?1??1??11??1????????2??3??35?1??n?1 8分 ???????2n?12n?1??2n?11 10分
n??2（3）假设否存在正整数m,n?1?m?n?，使得T1,Tm,Tn成等比数列，则
limTn=
?m?1n， 12分 ????2m?132n?1??3?2m2?4m?1?0， 可得?nm266由分子为正，解得1?， ?m?1?22?由m?N,m?1，得m?2，此时n?12，
当且仅当m?2，n?12时，T1,Tm,Tn成等比数列。 16分
说明：只有结论，m?2，n?12时，T1,Tm,Tn成等比数列。若学生没有说明理由，则只能得 13分
（杨浦区2013届高三一模 理科）23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
对于实数x，将满足“0?y?1且x?y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号x2
表示，对于实数a，无穷数列?an?满足如下条件：
a1?a,an?1?1,an?0,? 其中n?1,2,3,???. ??an?0,a?0.n?（1）若a?（2）当a?2，求数列?an?；
1时，对任意的n?N*，都有an?a，求符合要求的实数a构成的集合A． 4（3）若a是有理数，设a?
p
（p 是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的q
任意正整数n，是否都有an?0成立，并证明你的结论．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 解：（1）a1?2?2?1，a2?1?a11?2?12?1?2?1， …2分
ak?2?1，则ak?1?1?ak2?1?2?1
所以an?2?1. ………4分 （2）a1?a?a，所以①当
11?a?1，所以???4， 4a111112?a?1，即???2时，a2????1?a，所以a?a?1?0， 2aa1aa解得a??1?5?1?51（a??(，1)，舍去）. ………6分 222111②当?a≤，即2≤?3时，a2?1?1?1?2?a，所以a2?2a?1?0，
32aa1aa解得a?③当
11?2?8?2?1（a??2?1?(，]，舍去）. ………7分
3221111112?a≤，即3≤?4时，a2????3?a，所以a?3a?1?0， 43aa1aa
?3?13?3?1311（a??(，]，舍去）. ………9分 2243?1?5?3?13综上，，?. ………10分 a?2?1a??a，?22解得a?（3）成立. ………11分 （证明1）
由a是有理数，可知对一切正整数n，an为0或正有理数，可设an?pn（pn是非负整qnpn数，qn是正整数，且既约）. ………12分
qn①由a1?pp?1，可得0?p1?q； ………13分 qq1②若pn?0，设qn??pn??（0???pn，?,?是非负整数）
qnpnqn?1???a?? ，而由n 则得pnqnanpnpnan?1?q1??n?，故pn?1??，qn?1?pn，可得0?pn?1?pn ………14分 anpnpn若pn?0则pn?1?0 ………15分
若a1,a2,a3,???,aq均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q， 但小于q的正整数共有q?1个，矛盾. ………17分
故a1,a2,a3,???,aq中至少有一个为0，即存在m(1?m?q)，使得am?0.
从而数列?an?中am以及它之后的项均为0，所以对不大q于的自然数n，都有an?0. （证法2，数学归纳法） ………18分