二、填空题
【2017高考题14】曲线
y?x2?1x在?1,2?处的切线方程为 .
【2012高考题13】13.曲线y?x(3lnx?1)在点（1,1）处的切线方程为_________. 三、解答题
【2017高考题21】已知函数
f?x??ex?ex?a??a2x.
（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)?0,求a的取值范围.
【2016高考题21】已知函数（1）讨论
f?x?f?x???x?2?ex?a?x?1?2.
的单调性；（2）若
f?x?有两个零点,求a的取值范围.
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【2015高考题21】设函数
f?x??e2x?alnx.
f?x??2a?aln2a.
（1）讨论
f?x?的导函数
f??x?零点的个数;（2）求证：当a?0时,
【2014高考题21】设函数的切线斜率为0.
f(x)?alnx?(1?a)2x?bx(a?1),曲线y?f(x)在点(1, f(1))处2(Ⅰ)求b; (Ⅱ)若存在x0≥1,使得
f(x0)?aa?1,求a的取值范围.
【2013高考题20】已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x,曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a,b的值；(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
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xf(x)?e?ax?2. 【2012高考题21】21.设函数
（1）求f(x)的单调区间；
（2）若a?1,k为整数,且当x?0时,(x?k)f'(x)?x?1?0,求k的最大值.
【2011高考题21】已知函数
f(x)?alnxb?x?1x,曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
x?2y?3?0.
f(x)?lnxx?1.
（1）求a,b的值；（2）证明：当x?0,且x?1时,
3.导数及其应用（解析版） 一、选择题
1f(x)?x?sin2x?asinx??,???3【2016高考题12】若函数在?上单调递增,则a的取值范围
是（ ）
1??1??11???1,?,?1,????????1,1??3333?????? A. B. C. D.
2f??x??1?cos2x?acosx…03 解析：选C .问题转化为对x?R恒成立, 1?2452cos2x?1??acosx…0acosx?cos2x?…0?333,即恒成立.
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故
45?t2?at?…03对t???1,1?恒成立. 令cosx?t,得345g?t???t2?at?33,开口向下的二次函数g?t?的最小值的可能值为端点值, 解法一：构造
1?g?1??a…0????3?11?g?1??1?a…0?剟a3?3.故选C. 故只需保证?,解得31?5?1?5?a…?4t??4t???y?3t3t0?t?1????在t?0解法二：①当时,不等式恒成立；②当时,恒成立,由1?5?111?5?14t??4?5??a?4t???a…?????t?33,故3?t?0?t?1上单调递增,所以3?3；③当?1?t?0时,1?5?1?5?1114t?4t?…?4?5???a?????y?3t3,所以3. 3t?1?t?0??3??恒成立.由在上单调递增,11?剟a3.故选C. 综上可得,332f(x)?ax?3x?1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0?0,则a的【2014高考题12】已知函数
取值范围是（ ）
A.(2,??) B.(1,??) C.(??,?2) D.(??,?1)
2解：依题a≠0,f '(x)＝3ax2-6x,令f '(x)＝0,解得x＝0或x＝a,
22当a>0时,在(-∞, 0)与(a,＋∞)上,f '(x)>0,f(x)是增函数.在(0,a) 上,f '(x)<0,f(x)
是减函数.且f(0)＝1>0,f(x)有小于零的零点,不符合题意.
22当a<0时,在(-∞,a)与(0,＋∞)上,f '(x)<0,f(x)是减函数.在(a,0)上,f '(x)>0,f(x)是增2f()?0函数.要使f(x)有唯一的零点x0,且x0>0,只要a,即a2>4,所以a<-2.故选C
a?3111?3t?xx有唯一的正零根,令x,则问
另解：依题a≠0,f(x)存在唯一的正零点,等价于
题又等价于a＝-t3＋3t有唯一的正零根,即y＝a与y＝-t3＋3t有唯一的交点且交点在在y轴
右侧,记g(t)＝-t3＋3t,g '(t)＝-3t2＋3,由g '(t)＝0,解得t＝±1,在(-∞,-1)与(1,＋∞)
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上,g '(t)<0,g(t)是减函数.在(-1,1)上,g '(t)>0,g(t)是增函数.要使a＝-t3＋3t有唯一的正零根,只要a 【2017高考题14】曲线 y?x2?1x在?1,2?处的切线方程为 . 1x2,故切线的斜率k?y?|x?1?1,所以切线方程为y?2?x?1,即 【解】y?x?1.求导得 y?x?1. y??2x?【2012高考题13】13.曲线y?x(3lnx?1)在点（1,1）处的切线方程为_________. 【解析】4x?y?3?0.由已知y'?3lnx?4,根据导数的几何意义知切线斜率k?y'|x?1?4, 因此切线方程为y?1?4(x?1),即4x?y?3?0. 三、解答题 【2017高考题21】已知函数 f?x??ex?ex?a??a2x. （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)?0,求a的取值范围. 【解析】（1） f??x??2?ex??aex?a2??2ex?a??ex?a?2 xxf?x?0①当a?0时,2e?a?0,令??,即e?a?0,解得x?lna, 令所以当a?0,②当a?0时, f??x??0x,即e?a?0,解得x?lna, f?x?在?lna,???2上递增,在?, ??,lna?上递减. f??x??2?ex??0f?x?在R上递增. x?a?ax?lne?????xx?fx?0???2?, 2??2e?a?0?③当a?0时,e?a?0,令 令 f??x??0?2ex?a?0?ex???a?ax?ln????2?, 2???a????a??ln?,????,ln?????????fx?2??上递减. ?上递增,在?所以当a?0时,??在??2? 综上所述：当a?0,当a?0时, f?x?在???,lna?上递减,在?lna,???上递增； f?x?在R上递增； 第15页，共115页