(1?a)x2?x?a(x?1)[(1?a)x?a](1?a)2f(x)?alnx?x?xf?(x)??2xx(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
x?a1?a。 …4分
因为a≠1,所以f '(x )＝0有两根：x＝1或
a?(1)若
1a?12,则1?a,在(1,＋∞)上,f '(x)>0,f (x)单调递增.
f(x0)?aa1?aaf(1)??1?a?1,的充要条件为1?a,即21?a,
所以存在x0≥1,使得
解得?2?1?a?2?1。 …6分
1aa?a?1?1(2)若2,则1?a,在 (1, 1?a)上,f '(x) <0 , f (x)单调递减, a,??1?a在()时,f '(x)>0,f (x)单调递增.
f(x0)?aaaf()?a?1,的充要条件为1?a1?a,
所以存在x0≥1,使得
而
aaa2aaf()?aln???1?a1?a2?1?a?1?a1?af(1)?,所以不合题意. …9分
(3) 若a>1,则
1?a?1?aa?1??22a?1。存在x0≥1,符合条件。…11分
综上,a的取值范围为：(?2?1,2?1)?(1,??)。 …12分
【2013高考题20】已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x,曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.
(1)求a,b的值；(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
解：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4,由已知得f(0)＝4,f′(0)＝4,故b＝4,a＋b＝8. 从而a＝4,b＝4.
?x1??e??x2x2?. (2)由(1)知,f(x)＝4e(x＋1)－x－4x,f′(x)＝4e(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·?令f′(x)＝0得,x＝－ln 2或x＝－2.
从而当x∈(－∞,－2)∪(－ln 2,＋∞)时,f′(x)＞0；当x∈(－2,－ln 2)时,f′(x)＜0. 故f(x)在(－∞,－2),(－ln 2,＋∞)上单调递增,在(－2,－ln 2)上单调递减. 当x＝－2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(－2)＝4(1－e－2).
xf(x)?e?ax?2. 【2012高考题21】21.设函数
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（1）求f(x)的单调区间；
（2）若a?1,k为整数,且当x?0时,(x?k)f'(x)?x?1?0,求k的最大值.
xf(x)f'(x)?e?a. 【解析】（1）函数的定义域为（－∞,＋∞）,且
当a?0时,f'(x)?0,f(x)在（－∞,＋∞）上是增函数；
xf'(x)?e?a?0,得x?lna. a?0当时,令
xf'(x)?e?a?0,得x?lna,所以f(x)在(lna,??)上是增函数, 令
x令f'(x)?e?a?0,得x?lna,所以f(x)在(??,lna)上是减函数, xxf'(x)?e?1. f(x)?e?x?2a?1（2）若,则,
x(x?k)f'(x)?x?1?(x?k)(e?1)?x?1, 所以
故当x?0时,(x?k)f'(x)?x?1?0等价于
xex?1x(ex?1)?x?1x?1k?x??x?e?1ex?1ex?1, k?x?1?xex?1（x?0）. ①
即当x?0时,
?xex?1ex(ex?x?2)x?1g'(x)?x?1?g(x)?x?x2x2(e?1)(e?1)e?1令,则.
x2(0,??)h(1)?e?3?0h(x)?e?x?2h(2)?e?4?0,所以h(x)由（1）知,函数在单调递增,而,
在(0,??)存在唯一的零点.
故g'(x)在(0,??)存在唯一的零点.设此零点为?,则??(1,2). 当x?(0,?)时,g'(x)?0；当x?(?,??)时,g'(x)?0. 所以g(x)在(0,??)的最小值为g(?).
?又由g'(?)?0,可得e???2,所以
g(?)???1e?1??????1?(2,3),
由于①式等价于k?g(?)???1?(2,3),故整数k的最大值为2.
【2011高考题21】已知函数
f(x)?alnxb?x?1x,曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
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x?2y?3?0.
f(x)?lnxx?1.
（1）求a,b的值；（2）证明：当x?0,且x?1时,
【解析】（1）
xf??x???2x?1??a??x?1?lnx????bx21,由于直线x?2y?3?0的斜率为2,
??f?1??1??1f??1????1,12且过点??,故??b?1??a1?b???2,解得a?1,b?1. ,即?2（2）由（1） 知
f?x??lnx1?x?1x,所以
lnx1?x2?1?f?x???2lnx??2?x?11?x?x?.
2222x?x?1??x2?12x?1???h?x??2lnx?h?x?????x?0??xx2. xx2考虑函数,则
所以当x?1时,
h??x??01h?x??02h?1??0x??0,1?h?x??0.而,故当时,,可得1?x；
1h?x??02x??1,???h?x??01?x当时,,可得.
f?x??lnxlnx?0f?x??x?1x?1. ,即
从而当x?0,且x?1时,4.三角函数、解三角形
一、选择题
专题四 三角函数、解三角形
【2017高考题11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sinB?sinA(sinC?cosC)?0,a＝2,c＝2,则C＝( )
πA.12
πB.6
πC.4
πD.3
cosA?23,
【2016高考题4】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a?5,c?2,则b?（ ）
A. 2 B.3 C.2 D.3
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