???a???a????,ln?ln?,???????2??f?x??2????a?0????上递增. 当时,在上递减,在
f?x?min?f?lna??elna?elna?a??a2lna??a2lna?0a>0（2）由（1）得当时,,
?lna?0,得0?a?1.当a?0时,
f?x?minf?x???ex2??0满足条件.
当a?0时,
?a??a????ln????2?a???a??ln??2??2??f?ln?????e?a??aln????e??2???2?????
?
32?a?a?a2ln????04?2?,
3?a?3a33ln??????e4?a??2e4,又因为a?0,所以?2e4?a?0. ??2?4?23??4??2e,1??. 综上所述,a的取值范围是?【2016高考题21】已知函数（1）讨论
f?x?f?x???x?2?ex?a?x?1?2.
的单调性；（2）若
f?x?有两个零点,求a的取值范围.
.
解析：（1）由题意
xf??x???x?1?ex?2a?x?1?=?x?1??e?2a?0,即a…0时,ex?2a?0恒成立.令f??x??0,则x?1, ①当2a…所以
f?x?的单调增区间为
?1,???.同理可得f?x?的单调减区间为???,1?.
f??x??0,则x?1或
②当2a?0,即a?0时,令
ln??2a?.
（ⅰ）当所以
ln??2a??1,即
a??e2时,令f??x??0,则x?1或x?ln??2a?,
f?x?的单调增区间为
???,1?和?ln??2a?,???.同理f?x?的单调减区间为?1,ln??2a??；
e2时,
（ⅱ）当
ln??2a??1,即
a??x1f??x?…0f??x??0当x?1时,x?1?0,e?2a?e?e?0,所以.同理x?1时,.
故
f?x?的单调增区间为
???,???；
e??a?0ln??2a??1f??x??0x?ln??2a?x?12（ⅲ）当,即时.令,则或,
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所以
f?x?的单调增区间为
???,ln??2a??和?1,???,同理f?x?的单调减区间为?ln??2a?,1?.
综上所述,当
a??e2时,f?x?的单调增区间为???,1?和?ln??2a?,???,单调减区间为
?1,ln??2a??；
当
a??e2时,f?x?的单调增区间为???,???；
e??a?0???,ln??2a??和?1,???,单调减区间为?ln??2a?,1?； fx当2时,??的单调增区间为
0时,当a…f?x?的单调增区间为
?1,???,单调减区间为???,1?.
f?1???e?0,如（1）中讨论,下面先研究（ⅰ）（ⅱ）
（2）解法一（直接讨论法）：易见（ⅲ）三种情况. ①当
a??e2时,由f?x?单调性可知,f?ln??2a???f?1??0,故不满足题意； e2时,f?x?在???,???上单调递增,显然不满足题意；
②当
a??e??a?0f?x?f?1??f?ln??2a??③当2时,由的单调性,可知,
f?ln??2a????ln??2a??2???2a??a?ln??2a??1??a??ln??2a??2???a?0,故不满足题意；且 0, 下面研究a…22当a?0时,当a?0时,
f?x???x?2?ex,令
f?x??0,则x?2,因此
f?x?只有1个零点,故舍去；
f?1???e?0f?2??a?0f?x??1,???,,所以在上有1个零点；
?a3a??a??a?a?a?f?ln???ln?2??a?ln?1??a?ln2?ln??0222???2??2?2?2?,
2aln?0（i）当0?a?1时,由2,而所以
f?x?在
???,1?上有1个零点；
f??2????4?e?2?9a?9a?4?02e,
（i i）当a?1时,由?2?0,而所以
f?x?在
???,1?上有1个零点；
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可见当a?0时
f?x?有两个零点.所以所求a的取值范围为?0,???.
解法二（分离参数法）：显然x?1不是
f?x?的零点,
当x?1时,由
f?x??0xe2a?,得
2?x?x?1?2ex?x?1?.
g?x??设
2?x?x?1??x?1?,则问题转化为直线y?a与g?x?图像有两个交点,
2?ex?x?1???x?2??1???g??x??4gx?x?1?对??求导得,
所以
g?x?在???,1?1,???单调递增,在?单调递减.
①当a?0时,若若
x????,1?g?x??0gx,,直线y?a与??图像没有交点,
x??1,???g?x?gx,单调递减,直线y?a与??图像不可能有两个交点,
故a?0不满足条件；
?13?1??x1?min?1?,?g?x1??…a2a2???x1?1??? ,则②若a?0时,取,
而
g?2??0?a,结合
g?x?1,???在?单调递减,
g?x?图像有一个交点,
可知在区间?x1,2?上直线y?a与
?2???x2?min?1?,0?x??23a????a, 取,
g?x2?厖则结合
22?x2?1?ag?x3??2?2x3?22?ax3x3,, 单调递增,可知在区间?g?x?在???,1?x3x2?上直线y?a与
g?x?图像有一个交点,
综上所述,a?0时直线y?a与
【2015高考题21】设函数
g?x?图像有两个交点,函数
f?x?有两个零点.
f?x??e2x?alnx.
f?x?…2a?aln2a.
（1）讨论
f?x?的导函数
f??x?零点的个数;（2）求证：当a?0时,
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解：(Ⅰ) f'(x)＝2e 2x?ax, x>0 …2分
(1)若a≤0时,f '(x)>0在(0,＋∞)恒成立,所以f '(x)没有零点； …3分
(2)若a>0时,f '(x)单调递增.当x ?0, f '(x) ?-∞；当x ?＋ ∞,f '(x) ?＋∞, 所以f '(x) 存在一个零点. …6分
(Ⅱ) 设f '(x)的唯一零点为k,由(Ⅰ)知(0, k)上,f '(x)<0,f(x)单调递减； 在(k,＋∞)上,f '(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)取最小值f(k). …8分 ?2aa2k?ln?lnk所以f(x)≥f(k)＝ e2k-alnk,又f '(k)＝ 2e2kk＝0,所以e2k＝2k,aa所以f(k)＝2k?a(ln2a?2k)?a2k?2ka?alna2?2a?alna2, 所以f(x)≥
2a?aln2a. …12分
2x21. 解析 （1）
f?x??e?alnx?x?0?2x,
f??x??2e?ax.
显然当a?0时,f??x??0恒成立,f??x?无零点. 当a?0时,取
g?x??f??x??2e2x?ag??x??4e2xax,则?x2?0,即f??x?单调递增.
令
g?x??f??x??2e2x?ax?0,即
2e2x?ax. a画出y?2e2x与y?x的图像,如图所示.
由图可知,
f??x?必有零点,所以导函数
f??x?存在唯一零点.
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,
yy=2e2xy=axOx
（2）由（1）可知f??x?有唯一零点,设零点为x0,
由图可知,当x??0,x0?时,
f??x??0,即
f?x?单调递减；
当
x??x0,???时,
f??x??0,即
f?x?单调递增.
所以
f?x?在x?x处取得极小值,即f?x?x00min?f?x0??e2?alnx0.
f??x0??2e2x0?ax?0e2x0?a又
0,解得
2x0.① ①两边分别取自然对数,得2xlnx0?lna?ln2x0,即
0?lna2?2x0.
f?xa2x?a???lna2?2x?aa0??0所以
???2x?2ax0?aln…002 2a?alna2a12?2a?alnx?2axa0（当且仅当2x0,即0?2时取等号）.
【2014高考题21】设函数f(x)?alnx?(1?a)2x2?bx(a?1),曲线y?f(x)在点(1,的切线斜率为0.
(Ⅰ)求b; (Ⅱ)若存在x0≥1,使得
f(x0)?aa?1,求a的取值范围.
f?(x)?a解：(Ⅰ)
x?(1?a)x?b(x>0),依题f '(1)＝0,解得b＝1, …3分
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(1))处 f