第四章 一元二次方程
第一节 一元二次方程
第1课时 一元二次方程
知识点1：一元二次方程的本质特征：①方程是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2
知识点2：一元二次方程的一般形式，二次项及系数、一次项及系数、常数项。 知识点3：根据实际问题列出一元二次方程。 基础知识理解掌握 1、只含一个______,并且______的最高次数都是____的整式方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程都可以化为______________________的形式，称为一元二次方程的一般形式，其中，_______是二次项，________是二次项系数，________是一次项，_________是一次项系数，___________是常数项。
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3、当k____________时，方程kx＋x＝x＋1是关于x的一元二次方程。
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4、关于x的方程（n－n－2）x＋nx＋n＝0是一元二次方程的条件是（ ） A. n≠0 B. n≠－1 C. n≠2 D. n≠－1且n≠2
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5、关于x的方程（m－4）x＋(m－2)x＋3m－1＝0 ,当m___________时为一元二次方程；当m___________时为一元一次方程。
6、方程(x+2)(x-3)=5x(x-3)的一般形式是（ ）
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A.4x+2=0 B.4 x+14x-6=0 C. 4 x+14x-6 D. 2 x-7x+3=0
7、某班举行元旦联谊会，每两名同学握手一次，共握手435次，如果设全班人数为x，则所列方程为（ ）
A.x(x-1)=435 B. x(x-1)/2=435 C.x(x+1)=435 D. x(x+1)/2=435 8、若关于x的方程?m?2?x注意 m?x?1?0是一元二次方程，则m的值是______
1、判断一个方程是否是一元二次方程，首先应确定这个方程是否是整式方程，如果是整式方程，应对方程进行整理，看能不能化为一元二次方程的一般形式，即先整理，后判断。 2、一元二次方程的一般形式的等号左边是关于未知数的降幂排列，右边是0。要把方程化为一般形式，需要先按照去括号、移项、合并同类项的顺序进行化简。
3、要确定方程的各项系数应先将方程化为一般形式，在指出各项系数时一定要注意符号。 4、在将方程化为一般形式时，二次项系数一般化为正数。 知识巩固与提升 1、关于x的方程(m2?m?2)x2?mx?m?0是一元二次方程的条件是( ) A.m≠1 B. m≠-1且m≠2 C. m≠2 D. m≠1且m≠2 2、当m? 时，关于x的方程?m?2?xm3、下列方程中，不含一次项的是（）
1
2?2?6x?9?0是一元二次方程。
A.
3x2?5?2 B.16x?9x2 c.x?x?7??0 D.?x?5??x?5??0
4、用锤子一均匀的力敲击铁钉订入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的k倍（0 4，设铁钉的长度为1，那么符7444444448?k?1 B.?k?k2?1 C.k?k2?1 D.?k?1 7777777775、若?p?2?x2?3x?p2?p?0是关于x的一元二次方程，则（ ） A.p?2 B.p?0 C.p?2 D. p?2 6、将方程?x?1??x?1??2x2?4x?6化成一般形式为_________________ ?3?x??3?x??2a?x?1??5a的一次项系数是__________ 7、关于x的一元二次方程a?___________ 8、若方程3x?ax?8x?2中不含x的一次项，则9、小明认为：关于x的方程m2?m?2xm?1?3x?6不可能是一元二次方程，你认为 小明 10、若关于x的方程cx2??c?1?x?c2x2?0在什么条件下是一元二次方程？ 2 2?? 第2课时 估算一元二次方程的解 知识点1：使一元二次方程左右两边_______的未知数的值叫做一元二次方程的解。 知识点2：方程的近似解：在生产实践中，有时难以得到方程的精确值，所以需要根据实际情况使用一些有一定准确度的数，当这些数为某个方程的解时。我们就可以求出这个方程的________。 知识点3：一元二次方程的解，必须同时满足两个条件：一是未知数的值，二是必须使方程左右两边相等。我们常利用方程的解估计方程可能出现的根，或者利用它来求方程中字母系数的值，甚至有的时候还能利用方程的根来进行一些简单有理式的求值． 2x?1?0的一个根，试求a?2009a?例如：已知a是方程x?201022010的值、 2a?1分析：根据方程的意义，a是一元二次方程的一个根，那么它适合此方程，即得 22a2?2010a?1?0，而此题我们求不出a的值，但经过观察知分母为a?1，可把a?1看 2a，代入式子，经过适当变形可求出结果． 作一个整体，方程化为a?1?2010x?1?0的一个根，代人即得a?2010a?1?0 解：a是方程x?2010?a2?2010a??1或a2?1?2010a 22201020101a2?a?12?a?2009a?2?a?2010a?a???1?a?? 2010aaaa?12 ?2010a?a?2009 a22a看成一个注：整体代入法是代数式求值的常用方法之一，而本题是把a?1或a?2010整体。 知识点4：一元二次方程根的估算依据代数式的值的求法，当x的取值使得这个方程中 ax2?bx?c?0的值无限接近于0时，xJ的值即为一元二次方程ax2?bx?c?0的根。 对于实际问题根的估算，应先根据实际问题确定其根的大致范围，再通过具体计算进行两边“夹逼”，逐步获得其根的近似值。 2拓展：根的近似值的求法：对于方程ax?bx?c?0?a?0?，当x?m时，ax?bx?c的 2值小于0，当x?n时，ax?bx?c的值大于0，则方程的根的必在m与n之间，即 2m?x?n?m?n?或n?x?m?m?n?，确定根的取值范围后，再通过具体的列表计算进行 两边“夹逼”。 基础知识理解掌握 221、已知关于x的一元二次方程?m?1?x?x?m?1?0的一个根是0，则m的值为_______ 3 2、若x?1是方程ax?bx?c?0的解，则（ ） 2A.a?b?c?1 B.a?b?c?o C.a?b?c?0 D.a?b?c?0 23、已知x?2,x??1都是方程ax?2x?c?0的解，则a?______,c?______, 2a?3c?______ 4、已知m是一元二次方程x?x?2?0的一个根，则代数式m?m的值等于_________ 5、若关于x的方程x?5x?k?0的一个根是0，则k是___________ 知识巩固与提升 2221、已知关于x的方程ax2?bx?c?0?a?0?的两根为1和一1，则a?b?c?_______， a?b?c?________ 2、方程kx?10x?3?0有一个解是 2231，则k??_______ 4ka2?b23、已知a?0,a?b,x?1是方程ax?bx?10?0的一个解，则的值是________ 2a?2b24、已知x?2是一元二次方程x?mx?2?0的一个解，则m的值是( ) A.?3 B.3 C.0 D.0或3 5、估算下列方程的解 ?1?x?9x?8?0 2 ?2?x?46x?88?0 26、试确定一元二次方程x?x? 21?0的近似解的范围．(精确到0.1) 227、已知关于x的方程ax?bx?c?0?a?0?的一个根是1，且a,b满足 b?a?2?2?a?3，求这个一元二次方程． a2?28、若a是一元二次方程x?bx?2?0的一个根，求的值。 a2 4 第二节 用配方法解一元二次方程 第1课时 用开平方法解一元二次方程 知识点1：通过_______运算，降次解一元二次方程的方法叫做直接开平方法． 知识点2：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的________,而另一边是一个________实数时，可以根据_________的定义，通过开平方求出这个方程的解。 知识点3：形如x2?p或?mx?n??p?m?0,p?0? 的一元二次方程选用开平方求解是比 2较快捷的手段。 知识点4：根据式子的特征，将方程左边化为完全平方的形式，右边是正的常数的形式，再开平方。从而得其解，同时注意开方后“+”、“一”问题． 基础知识理解掌握 1、若x2+4=0，则此方程解的情况是________________________. 2、方程2x2=32的解是________________; 方程2x2=82的解是___________________. 4、方程2(x－1)2=0的解是______________;方程(2x+1)2=0的解是______________________ 5、方程x2=16的根是x1=______,x2=______;若(x－2)2=0，则x1=__________,x2=__________. 6、用开平方法解下列方程 （1）3x2=3 （2）(4 t－5)2=9 知识巩固与提升 1.若2x2－7=0，则此方程的解的情况是___________________. 2、若－2x2+8=0，则x1=_______,x2=________;方程(2x－1)2=1的解______________ . 3、用直接开平方法解一元二次方程 （1）16 x2-25=0 (2) 3（3x-1）2=12 (3)16（3x-1）2-25(3x+1) 2=0 （3）(x+1)2－144=0 （4） 1 (2x+1)2=3 2 4、小李和小王一起解方程x(2x+3)-6(2x+3)=0 小李的解法：方程左边提取公因式，得(2x+3)(x-6)=0 所以2x+3=0或x-6=0，方程的两个解为x1=-3/2,x2=6 小王的解法是这样的：移项得x(2x+3)=6(2x+3)，方程两边都除以(2x+3)，得x=6。小王说：“我的方法多简单”，可另一个解x=-3/2哪里去了？小王的解法对吗？你能解开这个谜吗？试试看。 5