河南理工大学
本科毕业设计（论文） 外文文献资料翻译
院（系部） 数学信息科学学院 专业名称 数学与应用数学 年级班级 2009级01班 学生姓名 闻晶晶 学生学号 310911010108
2013年6月3 日
共33页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 1 页
一类负相伴随机阵列部分和的精致大偏差
汪世界 王伟 王文胜
（安徽大学数学科学院，合肥，230039） （华东师范大学金融统计学院，上海，200241）
摘要
本文在一些适当的条件下得到了多风险模型中负相伴随机阵列的精致大偏差，推广了一些已知的结果，同时表明在多风险模型中负相伴结构对精致大偏差同样不具有敏感性.
关键词：负相伴随机阵列，大偏差，一致变化尾 学科分类号：O212.3.
§1. 引言
近年来，很多学者都总结出重尾分布和的精致大偏差，因为用大偏差概率的损失过程来描述破产概率的估计，是一个非常重要的目标风险管理.为此，我们参阅了一些最新文献，如Ng et al.(2004)，Tang（2006），Wang et al.(2006)，Liu,(2007)，Chen and Zhang（2007），,Yang et al.（2009），Liu(2009)等.然而，他们只研究单一类型的风险，即他们总是假定保险公司只提供一种保险合同.在实际生活中，这种假设是不存在的，所以，研究多风险模型的大偏差问题是很有价值的.为此，Wang and Wang（2007）首次把精致大偏差的相关结论扩展到独立索赔多风险模型中.显然，Wang and Wang（2007）的独立性假设是极其不符合现实的.Alam and Saxena（1981）及Joag-Dev and Proschan（1983）中介绍到这种较弱的结构是负相关的.
d定义1.1 d是正整数，Xn;n??是有限的实值随机变量.我们称一维随机变量是负相伴的，
??如果对?任意两个不相交的非空子集S,T都成立
dCov?f?Xi;i?S?,g?Xj;j?T???0
其中f?Xi;i?S?和gXj;j?T是任意两个使得协方差存在且对任意变量都增加的函数.
在本文中，我们称Xij,j?1i?1是NA序列，其中Xij,j?1，i?1,?,k，表示关于i的同分布损失函数Fi?x?，满足EXij??i??，Fi?x??1?Fi?x??0，x????，??.我们同样可以假定，对任意i?1,?,k，Fi?C，如果满足
????k??limliminfy?1x??F?xy?F?x??1 或 limlimsupy?1x??F?xy?F?x??1，
我们说分布函数F属于重尾子集C，其中分布函数F具有一致变化尾.Cline et al.（1994）也曾研究过指导教师：李文玲 学生：闻晶晶
共33页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 2 页 重尾子集C，他称其为‘中间正规变量’.另一个著名的重尾子集被称为控制变量集（D族）. 一个
分布函数F支撑在???,??上且属于D，当且仅当对任意0?y<1（或某些
y??0,1?），
miluspx??F?xy?F?x???
成立.
对于像R，S，L等其他重尾子集的更多细节，参考文献Ng et al.（2004）或者Wang and Wang（2007）.集合
?logF??y??J：=inf??,y?1?，
logy???F?其中，F??y??liminfF?xy?F?x?.在Tang（2006）的专业用语中，JF被称为F的上 Matuszewska
x??指数.?ni,i?1,?,k?是k正整数序列.为方便起见，令Sni?kni?Xj?1niij，i?1,?,k，
S?k;n1,?,nk????Xij.?Ni?t?,i?1,?,k?是一列关于索赔次数的独立非负整数计数过程，我
i?1i?1们假定Xij,j?1??ki?1和Ni?t?,i?1,?,k是相互独立的，且当t???i?1,?,k?时，
kNi?t???ENi?t???i?t???.令S?k;t????Xij,t?0，Tang(2006)研究了带有一致变化尾的负相伴随
i?1i?1机变量和的精致大偏差，Chen et al.（2007）和Liu（2007）把Tang（2006）的研究结果扩展到负相伴随机变量的随机和，它们各自具有一致变化尾.在本文中，我们研究多风险模型中的负相伴随机阵列部分和的精致大偏差.我们对一些已知的结论进行推广，发现在多风险模型中精致大偏差的渐近同样呈现负相伴结构.后面的章节安排如下：在第二节中，我们介绍一些预备知识，主要的结果和证明将在第三章节给出，第四章将会给出一个应用程序的主要结果.
§2预备知识
在这一章节，我们按照惯例用符号Sn??Xi?1ni，SN??t??Xi?1N?t?i以及F?G表示
0?liminfFF?limsup??. GG显然，如果F?G，那么，对任意c?0，F?cx??F?x?.这在Tang and Yan（2002）中同样也可以看到.下面我们给出一些证明定理的引理，引理2.1是对Joag-Dev和Proschan(1983)的轻微调整.
引理2.1 设?Xk,1?k?n?为一NA随机变量序列，A1,?,Am为?1,?,n?的任意一列两两不
指导教师：李文玲 学生：闻晶晶
共33页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 3 页 交子集.如果?fi,i?1,?,m?为对每个分量不降（或不增）函数，f1Xj,j?A1,?,fmXj,j?Am仍为NA序列，且对任意n?1,2,?以及x1,x2,?,xn，有
?????n?nP??Xi?xi???P?Xk?xk? ?i?1?k?1以及
?n?nP??Xi?xi???P?Xk?xk??i?1?k?1
引理2.2 设?Xk,k?1,2,??是一列同分布的NA随机变量，共同发布F?x??D，期望为
?且F??x???F?x?,x??.如果存在某r?1，使得EX1?，
????r??，X1??max?0,?X1?.则对任
意给定的常数??0，当n??时，对x??n一致地有
P?Sn?n??x????nF?x??,
对x??n一致成立，即
limsupn??x??nP?Sn?n???x?nF?x??0.
证明：由于?Xk,k?1,2,??为NA序列，根据定义，??Xk,k?1,2,??同样是NA序列.由Tang（2006）的引理2.3得，对任意??0，p?JF，必存在某正常数?0与C，使得对任意x??n，
?n?1,2,?有
P?Sn?n???x??P??Sn?n??x??nP??X1????0??Cx?p
?p ?nF???0????Cx. (2.1)
显而易见，对任意给定的p?JF，则当x??时，有x?p??F?x?；对于较大的x，F?v0x?
???F?x?.在（2.1）中，利用条件F??x????F?x??，我们得到
P?Sn?n???x?nF?x??n???0x????Cx?pnF?x?
?从而引理2.2证毕.
n??F??0???Cx?pnF?x??C???F?x??. ??1???n?F?x? 注1（1）在引理2.2的证明中，对任意??0，用?x替换x，当n??时，
P?Sn?n????x???nF?x? （2.2） 对x??n一致成立.
??指导教师：李文玲 学生：闻晶晶
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（2）设Xij,j?1??ki?1是负相伴序列，且Fi?x??i?1,?,k?满足定理2.2 的条件.我们可以用数
学归纳法证明，对任意??0，当ni??时，
k?k??k? P??Sni??ni?i???x?????niFi?x?? （2.3）
i?1?i?1??i?1?对所有x?max??ni,i?1,?,k?一致成立.事实上，对k?2和任意???0,12?，由引理2.1,引理2.2和负相伴性质，有
2?2? P??Sni??ni?i???x?
i?1?i?1??PSn1?n1?1???1????x?PSn2?n2?2???1????x
?PSn1?n1?1????xPSn2?n2?2????x ??n1F1?x???n2F2?x???n1F1?x??n2F2?x?
??n1F 1?x??n2F2?x? （2.4）因此，（2.3）可以直接由（2.4）用归纳假设证出.
??????????????????§3 主要结论及其证明
定理3.1 设Xij,j?1??ki?1为NA随机阵列，对任意i?1,?,k,Xij,j?1具有相同的分布
??Fi?x??C，有限期望为?i，且满足xFi??x??Fi?x?,x??.?ni,i?1,2,?,k?为任意给定的k个
正整数，如果对任意的i?1,?,k，存在某r?1使得EXij??.则对任意给定的r?0，对所有的
ri?1,?,k，当n??时，有
k??k P?S?k;n1,?,nk???ni?i?x???niFi?x?, （3.1）
i?1??i?1???k?一致成立. 对所有x?max??ni,i?1,?,k?：注2 假定所有Fi?x??i?1,?,k?是同分布函数，那么(3.1)可以推出Tang(2006)的定理1.1.特别的，如果我们已知Xij,j?1??ki?1是非负随机变量序列，很容易可以验证定理3.1的条件一定成
立.因此，（3.1）验证Liu(2007)的定理2.1.如果Xij,j?1,i?1,?,k是独立随机阵列，由(3.1)推出Wang and Wang(2007)的引理3.1.
证明 我们用数学归纳法证明(3.1).当k?2时，首先，显然有
??指导教师：李文玲 学生：闻晶晶