共33页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 30 页 测时间序列包含一小部分动态初级混沌系统与已知的函数形式，除了一些未知参数.我们将该模型简称为二次系统，用相同的方程定义，初始系统的未知参数可以调整为第二个.此外，如果两个系统的参数匹配，这两个系统的动态变量是可以过观察的时间序列的一种方式确保同步耦合 .有了这个设置，联合同步和参数估计可以达到[1,8 - 17].parlitz [ 1 ] 研究的一般的方法，他提出了一个自调控方案的同步驱动误差作为一个参数估计的方法，这种方法有吸引力，因为它只需要估计未知参数，从而导致低维问题.建议离线和在线[ 9 ] [ 8,13,16,17–12,14,15 ]的技术已经被提出.后者较简单，使二次系统的连续运行.各种技术的系统中，同步误差的定义方式之间的耦合不同类型.在所有的情况下，未知参数随时间变化的幅度及合适的微分方程为它们设计便于处理.
当混沌系统的动态变量之间没有显式耦合时，就产生一个更具挑战性的问题，因此控制二次系统必须用单独的可调参数的调整适应.在[ 18 ]中，它表明，如果时间序列是由主系统的全状态和有在二次系统调整一个参数，对某些系统而言，相同同步和参数估计可以达到（在线）.另一个在线的方法最近在[ 19 ]特别推出，用一个一维的时间序列，而不是在[ 18 ]中完整的原系统的状态观测一个标量参数的估计.在[ 19 ]中，相比其他的在线同步方法，关键特性技术的主要特点如下.
?它不需要的初级和二级系统之间的显式耦合，使得这种方法清楚地分离了除[ 18 ]以前所有的技术.
?针对成本函数的n阶导数涉及的在线最小化（n＞1）的时间序列和二次系统的状态变量.因此，他们成为可以解析处理（有一定的近似）的可调参数的显函数.
?在线最小化是对一个离散时间进行处理的算法，而现有技术处理的可调参数是连续变量,根据充分进化设计常微分方程(常微分方程)[1,9 - 12、14、15).虽然他们通常可以运用常微分方程让时间增量消失,对于离散时间过程，实际上使用数字计算设备能更好的实现.在下面,我们重新拿方法[19]作为离散时间递归更新(DTRU).
本文中，我们在回顾了密度收法的基础上，探讨其存在噪声的鲁棒性，并介绍了一些扩展.特别是第2节中，给出了一个正式的问题陈述和密度收法程序的一般性描述占任意维的未知参数向量.在3节中，我们使用著名的劳伦兹方程的数值研究方法的鲁棒性，在一级和二级系统之间存在不匹配的噪声和.通过大量的计算机模拟，我们证明了密度收算法的性能：（a）在原发性方面他们同行的二次系统参数有固定的错误（不可调），（b）在加性高斯白噪声污染的观测时间序列和,（c）系统主要由不占第二级的动力噪声影响.第4部分中,我们用研究的扩展DTRU方法共同估计两个参数.具体来说,我们显示程序两个参数的联合估计的洛伦兹系统的两个参数（使用一个一维的时间序列作为输入）和高维系统主要由扩散耦合两个劳伦兹子系统与不同的参数集建立.最后，5部分是致力于一个简短的讨论和结论.
2 问题陈述和方法
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令
??f?x,p? （1） x代表初始系统的状态变量x?R及未知参数p?R.给出方程的函数形式等式（1），我们可以建立二阶系统如
m??f?y,q? （2） y其中y?R是状态变量，q?R是可调参数.等式（2）的系统是可测的，并假设定期更新q的值.没有耦合动态变量的主系统和辅助系统，但是观测时间序列h?x?：R?R.它由等式(1)中一
nknm个动态变量的一个子集的已知变换公式构成，可用于q的迭代.目标是获取一个算法再次利用调整的二次系统的参数，直到系统变量和参数本身收敛到初始系统.也就是说，y?x和q?p.这样，两个系统才能保证完全的同步，初始系统的参数可估计.出于这个目的，我们在[19]重新提出了估算方法.
参数估计和相同的同步可以共同通过合适的成本函数最小化实现，称为J?q,t?.我们考虑函数的形式为
J?q,t???e????0ta?t???T（3） d?
其中，e????h?x??h?y?是错误信号，?是向量范数，a?1，T是调整期（即我们假设q可以更新每一个时间单位），0???1是一个强调最近的观测忽略以往的遗忘因子.除非有必要避免歧义，否则，我们将忽略本文中动态变量的时间依赖性（x和y）.我们注意到，当系统达到一致?y?x?，误差信号消失?e?T??0?，作为一个结果，因此成本函数?J?q,nT??0?.因为在一般情况下，当
q?p时，极小序列
qn?argmin?J?q,nT??,n?N （4）
q是p的合理估计，相同的同步才能实现.
这种技术的实用性明显依赖于选择的J,是进行有效的在线最小化处理.它将通过在部分3和4的例子被显示出来，这有利于确定区别于（n阶）衍生物的动态变量的误差信号之间的差异，例如，
??y?，而不是状态变量之间简单的差异x?y.由于时间导数的二次系统，动态全维时间序列e????x?，是显式的函数的参数进行调整，这一事实可以被利用来解析近似估算公式中的序列（4）使变量y用一个简单的递归程序.我们一般称这种方法为离散时间递归更新的参数（DTUR）.
这样定义的一个缺点是，最大限度地减少状态变量的时间导数之间的失配不一定会导致相同的同步，尽管一些初步结果表明，即使没有相同的同步（即利用某种形式的广义同步），也可以实现准确的参数估计，在这方向需要进一步的工作.因此，对密度收方法的价值，应该是它的简单性和使用标准的离散时间实施其吸引力的发现（数字）设备.
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3存在噪声的单一参数估计 为了演示应用程序的DTRU方法,我们假设一个洛伦兹初始系统,
?1???1?x1?x2?,x?2?R1x1?x2?x1x3, （5） x?3??b1x3?x1x2,x其中x??x1,x2,x3?是动态系统，??1，R1，b1?是完全参数向量.我们用具有相同的功能模型的辅助系统，即
?1???2?y1?y2?,y?2?R2y1?y2?y1y3, （6） yy3??b2y3?y1y2,其中y??y1,y2,y3?是动态系统，??2,R2,b2?是参数. 3.1R1的估计
我们首先考虑??1,b1?已知情况下，R1的估计.在这种情况下，我们一开始就设
??2,b2????1,b1?，方程中的未知向量及可调参数p、q.（1）和（2）分别为减少的标量p?R1和
q?R2.为了获得（4）中的参数，我们希望选择一个R2的显函数的误差信号.这样一个信号是
?1，定义成本函数 ?1???1，因此我们假定观测到的时间序列是h?x1???xe?????xy1J?R2,nT????0nTn??Te2???d? ???0nTn??T?1???1?2d???xy （7） 是相对于R2的最小化（回顾我们忽略的时间依赖性的动态变量）.特别是，通过求解
?nT?1n?TdJd?y?1???1???2???xy?d??00dR2dR2 （8） 对未知参数进行n次迭代.显然，因为所有的yi?i?1,2,3?变量对R2的隐式依赖（详见等式（6）），
?1dR2计算困难.然而，如果我们只考虑[19]中提出的显式衍生，那问题将变得很简单.具体y所以d?来说，等式（8）降低为
nTn?dJ?1???1?y1d???2?2??T??xy0dR2 ? ?-2?2??0nTn??T?1??2?R2y1??2?y1?y2??y2?y1y3??y1d???x （9） ?1.我们可以用等式（9）中产生的n阶参数估计求解R2，y其中，第二行y和?2项可以明确写作?
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R2??nT0?n??T?1??2??2?y1?y2??y2?y1y3??y1d???x?2??0nTn??T （10） y12d?上式可以用初等代数运算方法重新被写作显式递归形式.后者的公式特别适用于该技术的实施应用.
R2,n?R2,n?1?及
An?R2,n?1Bn?Cn?1?Bn （11） An??Bn?????2?y?1?y2?y1y3????x?2y1??n?1?T1nTn??T （12） d?，??2y1???n?1?T2nTn??Td?， TCn?1???n?1?T0??2y1??2?n?1??? （13） d?，
3 不匹配的固定参数
这种方法估计理想状态下标量参数及完善和观测已知无噪声系统固定参数的能力已经在[19]中被证明.在这里，我们把注意力放在这些理想化假设都不存在的情况下.
作为第一个例子，我们考虑二次系统的固定参数与原系统都不匹配的情况.特别是，我们应用递归算法等式（11）.当初始系统（即标准的参数值）是??1,R1,b1???10,28,83?时，二次系统?2?k?1，?5I?5?10，其中（即存在固定的参数误差3%）.这两个系统都采用时间步为单位b2?kbk?1.031的二阶龙格库塔（RK2）的数值积分算法.DTRU算法是带遗忘因子??0.995和更新周期T?5?10时间单位（即更为简便的近似积分方程（11））的运算.对于动态变量初始条件的选择，即
?5y1,x1~U?12,16?，y2,x2~U?-12,-16?，y3,x3~U?19,21?，其中U?a,b?表示均匀概率分布在区
间?a,b?.注意，尽xi和yi同分布，但它们的初始值仍是相互独立的.R2的初始值为R2,0?R1?10.
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