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联合（3.16）（3.26）（3.15）定理对k?2时成立.定理3.2证明完毕.
§4应用
本节我们给出一个例子对本章主要结果加以应用.假定某保险公司经营着两个不同险种，而与第一个险种对应的索赔额记为X?Xj,j?1，为一列独立同分布的非负随机变量，共同分布为
??F?C，有限期望为?.若该索赔到来的时刻?j,j?1为一更新过程Ni?t??sup?n?1,??t?，
满足?i?t??ENi?t???.再令?Ij,j?1?为一列Bernoulli随机变量序列（即t?0其中对任意t?0，
??Ij,(j?1)服从两点分布），且Ij的期望为q，其中0?q?1，q表示第j个索赔到来的概率.假定与
公司第二个险种相应的索赔额为Yj,j?1，为另外一列独立同分布的非负随机变量，共同分布为
??G??F??C，有限期望为?.再令N2?t??N???t??为一Cox过程，其中N?t?为由一列独立同分
布的非负随机变量序列Zj,j?1生成的更新过程，且满足EZj?1，令??t?,t?0为另一个右连续的非降的随机过程，且满足??0??0.若??t?与N2?t?相互独立，对任意t?0P??t????1.假定上述随机变量序列Xj,j?1,Ij,j?1,Yj,j?1以及N1?t?,t?0,N2?t?,t?0相互独立，Ij,j?1为NA序列，则可以看出到t时刻时公司的累计索赔额为 S?t??N1?t?j?1?????????????????XN2?t?jIj? ?Y,t?0. （4.1）
jj?1这里我们假定公司同时经营着两种不同的险种，因此该模型是Denuit等（2002）与Ng（2004）所研究的一维风险模型的推广.这里我们假设随机过程??t?满足，对任意t?0，?且当t??时，????t?:?E??t???，
?使得， ?t???，对任意??0，存在p?JGE?p?t?1???t????1??????t???????t??.
?记N1?sup??n?t,In?1?,t?0，则N1?t?,t?0表示在?0,t?时刻内发生索赔的真实次数.易见
?1?EN，以及N1??t???j?I?t??q??t?,t?0.因此（4.1）式可以被重新改写为 1j1?N1?t???N?t?S?t???Xj?1N2?t?j??Yj?1j.
用和Wang等（2007）中第五节相同的方法和定理3.2，我们得到，当t??时，有
P?S?t??q?1?t???????t??x??q?1?t?F?x?????t?G?x?
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????t?,???t??一致成立.
?1参考文献
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?-混合相依变量线性形式的强稳定性 杨延召 刘妍岩
（青岛科技大学数学系，青岛，266061）（武汉大学数学与统计学院，武汉，430072）
线性形式的强稳定性在科学技术上存在着广泛应用.本文讨论了?-混合随机变量列线性形式的强稳定性.通过对?-混合随机变量列运用截尾术，借助于?-混合随机变量的性质以及 Borel- Cantelli引理，得到了?-混合随机变量线性形式具有强稳健性的充分条件.同时也给出了一些其它形式的结果.
关键词：强稳定性，?-混合，线性形式. 学科分类号：O211.4
§1 序言
概率密度估计，非参数非线性回归可能是研究最为广泛的非参数估计问题.许多研究方法已经在独立的观察下独立发展起来.近年来，一些论文因为广泛存在的独立随机变量产生的如强稳定性的线性形式等大量概率问题，就把这些方法扩展到不独立的情况.强稳定的线性形式在生态学、分子生物学、生物化学等领域都有应用.研究线性的强稳定性被大量的定律推动，在线性模型的兼容的最小平方估计中很有用.因此，研究线性强稳定性的重要性是毋庸置疑的.
2004年，Gan(2004)研究了几乎收敛的?-混合随机变量.对于严平稳序列，?-很合序列首次在Blum等（1963）中首次被提出.?-混合序列包括一些被广泛应用的例子，比如可数状态空间马尔可夫过程，在Blum等（1963）中可以发现更多的?-混合序，列的例子.众所周知，极少的关于?-混合序列的研究可以被找出.
在本文中，我们首先通过使用终止来研究变量，然后通过Broel-Cantelli引理和?-混合序列的性质找到通常情况下?-混合序列的强稳定线性形式的充分条件，基于以上结果，我们给出在?-混合序列中其他线性形式的一些结果.
接下来，我们证明?-混合序列强稳定线性形式的一些结果.本文的其他部分组织如下：在第二节中，我们陈述和证明主要的结论，然后在第三节中，我们证明?-混合序列中强稳定性的其他线性形式.
§2.Xn的强稳定性线性形式
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在我们叙述主要结论之前，我们先复习几定义个下文即将用到的定义.
定义2.1 设?Xn,n?1?是定义在概率空间（Ω，F，P)的一列稳定变量.分别用Fm,Fn表示?代数生成的?Xi,1?x?m?和?Xi,i?n?.令
??r??supsupp?1A?Fp,B?Fr?pP?A?P?B??0P?AB??1， P?A?P?B?如果当r?0时，??r??0，我们就说?Xn,n?1?是?-混合随机序列.??r?是?-混合相关系数.
?dn?,0?bn??，定义2.2 一随机变量序列?Xn，n?1,?是强稳定的，如果存在两列常数?bn?则
?1 bXn?dn?0 a.s. （2.1)
定义2.3一随机变量序列?Xn，n?1?被非负变量X所控制，如果存在整数c?0，则有 PXn?t?cP?X?t?,?t?0,?n?1， （2.2） 记为?Xn??X.
除特别说明外，全文假定?Xn，n?1?是?-混合随机变量序列，相应的混合系数满足
???r???. （2.3）
r?1???下面的定理是对?-混合序列?Xn?线性强稳定性的总结.
定理2.1 设?Xn,n?1?是一列零均值?-混合随机变量，?bn?是一列正数bn??，若存在某个
1?p?2，?n?1?EXnbnpp??，则
b?1?Xi?1?i?0,a.s.
为证明定理2.1，需先介绍以下引理.
引理2.1（[3],引理1.2.11）设?Xn,n?1?是?-混合随机变量，X?F,Y?Fk?r，
k EX??,EY??,则EXY??,EXY?EXEY?????EXEY.
引理2.2 设?Xn,n?1?是一列零均值?-混合随机变量，Sn??Xi?1ni，EXn??，
2?n?1.则???0，有
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???n2??1?4?lEX????il?1??i?1??. P?maxSj????2?1?j?n??证明：对???0，令????:maxS??????1?j?nj.对任意???，有
v????minj:1?j?n,Sj?????，
???k???:v????k?，
当k?1时，maxSj????0，这样?i??j??,i?j且??1?j?k??k?1nk.由
2??SdP???SdP???Sk2?2Sk?Sn?Sk?dP,
2nk?1?k2nk?1?knn??进行如[3]和引理2.1同样的讨论，得到
?n?ES?Skk?12nnn?Sk?????l??EXi2，可得
l?1i?1nn2i?n
2（2.4） ES?2???l??EX??SdP?2???l??EX???SndP??2P??? 22il?1i?1?l?1i?1k?1?k?由引理2.1，可得
???nES??EX?2???j?i?EXiEXj??1?2???l???EXi2，
i?1i?jl?1??i?12n2in由以上公式得
???n2??1?4?lEX??i??l?1??i?1P????. 2?引理2.3 设?Xn,n?1?是一列?-混合随机变量，满足（2.3）的条件.若 （i）
?EXn?1?n?1?n??;
（ii）
n?Var?X???,
n则序列
?Xk?1k收敛.
证明：对序列Xj?EXj由引理2.2得知，对任意正整数m,n1?n2有
k??1??n2??2?P?max??Xj?EXj????m?1?4???l???Var?Xi?，
n?k?nm??l?1??i?n1?12j?n1???由（ii）知，对任意m有，
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