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500个样本对于c的每个取值，有如下结果：无法找到最大似然估计：c=0.35时31次，c=0.50 时8次，c=0.80时1次；无法找到加权最小二乘估计：c=0.35时22次，c=0.50 时11次，c=0.80时1次.
表二给出了基于无舍弃样本的各估计量的偏差和均方误差.在c的以上任一取值下，（3.3）估计得到的a和b相对于最大似然估计和加权最小二乘估计都有相对较小的偏差和均方误差，除了当c取值小或大时.但是，当c取值大时，它们是相似的.（3.3）c估计的偏差和其他方法的c估计是相似的，除了c取值小时.然而，当（3.3）应用在舍弃的样本中的结果结合总结在表二中的结果时，（3.3）所有估计量的偏差和方差都减少了.
§4伽马分布
?1. 对于伽马分布的位置参数的初始估计，我们用（3.1）中给出的a?1??x?a?1?C的初始估计是c?2?s2. （4.1）
?1，令样本的均值和方差分别等于分布的均值和方差，求解c的估计. 假定a?aE?x1??a?bhn?c?，在伽马分布下， （4.2）
其中d?hn?c?是等式
i?Kdii?0?c?i?c?i????c??n?1? （4.3）
Ki???1?i!.等式（4.2）是E?xi??F?1?i?n?1??（Blom[1]）.当a?0,b?1时，伽马分布函数写
做如下格式：
???c?i??Kxc?i??i???c?.
?i?0?对于给定的c，（4.3）很容易通过迭代方法解决的.在仿真研究描述之后，我们令（4.3）左侧前40项相加.
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?1?0.3，我们修订a的估计.反之，a的初始估计就是其最终估计，b和c的最终估计通过如果c?的最大似然估计求得. 假定a?a?1分别替换b和c，其中后为了得到a的一个修订估计，令x1等于（4.2）的右侧，用?x?a?c,c者由（4.1）给出，求解a.给出a和c，记?x?a?c是b的最大似然估计.为了得到b和c的估计，假设a等于其修订后的估计，运用最大似然估计法求解.在此，我们采用类似于Greenwood and Durand [8]的最大似然估计法.
我们提出伽马分布下的估计量
???x1?xr?c?1???1?r?c?1??， a （4.4a）
?0.5000876?0.16488529y?0.0544274y2??y??? c28.898919?9.05995y?0.9775373y??y17.79728?11.968477y?y2?0?y?0.5772 （4.4b）
??0.5772?y?17???x?a??c?， b （4.4c） ?1由（4.1）给出，y是样本算术平均值和减去a?其中，r?c??hn?c?c，hn?c?是（4.3）中d的解，c以后的观察值的平均值之比的自然对数.
如同威布尔分布和对数正态分布， Cohen and Whitten[3] 研究了伽马分布下几种不同的估计方法.他们建议，当169?c?16时，用最大似然估计方法；当c?169时，用修正的矩估计法.这种修正方法是令样本的均值和方差等同于分布的均值和方差，F?x1?等于其自身期望值1?n?1?的同时，求解三参数.
第三个仿真研究是为了比较（4.4）中平稳的伽马分布和Cohen and Whitten [3]的建议.再者，
?,c?b,c?,b?表示我们所考虑的三种方法中的任一中的参数，则?a??a?b,b?的分布既不依赖于a如果a或b，也不同时依赖a，b.因此，我们在此仿真研究中，令a=0，b=1.
在伽马分布下，我们考虑其形状参数c取值0.5，1，2，4的情况.对于上述c的每一个取值，随机产生样本容量为30的随机样本，其中a=0，b=1，形状参数为c的取值.对每一个样本，（4.4）估计、最大似然估计或修正后的矩估计都可以求得.当c=2或4时，有最大似然估计；当c=0.5或1时，有矩估计.当Cohen and Whitten [3]建议的程序不能找到估计量时，这些样本将要被丢弃.我们取当c=0.5,1,2时的1000个未舍弃样本.当c=4时，我们抽取500个未被舍弃的样本.
为了取到这1000个未被舍弃的样本，生成了c=0.5时的1124个样本，c=1时的1052个样本，c=2时的1429个样本.同样，为了得到c=4时500个未舍弃样本，我们生成566个样本.c=0.5 ,1 ,2时偏差和均方误差是在1000个样本下求得的，c=4时，估计建立在500个样本的基础上.
表三
下表为a=0 b=1时的伽马分布下样本容量为30的随机样本的参数估计的偏差和均方误差.
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表三给出了基于未舍弃样本的估计量的偏差和均方误差.在这张表中，我们通过以下方式获得Cohen and Whitten [3] 提出的估计程序，即c=2或4时的最大似然估计和c=0.5或1时的修正的矩估计.在c任意取值下，（4.4）估计的均方误差要小于CWE的均方误差.当c=2时，（4.4）中b和c估计的偏差要小于CWE估计的偏差.当c=0.5或1时，（4.4）中a的估计的偏差要小于CWE估计的偏差，但当c=2或4时，前者要大于后者一些.然而，当用舍弃样本和未舍弃样本来得到这里提出的估计量时，估计的再偏差和均方误差都得到了减少.
§5总结和评述
威布尔分布、对数正态分布和伽马分布的位置、尺度和形状参数估计已经在上文中提出.这些分布的估计集分别为（2.2）、（3.3）、（4.4）.
在每一种情况下，估计是在封闭的形式下给出的，比其他最新文献要更简单一些.仿真实验研究表明，就估计的偏差和均方误差而言，新的估计较以往的更好.此外，不像现在其他的估计，新的估计总是能找到参数估计.
这里提出的估计似乎存在大量相似可能性，已在每个分布下得到检验.其他可能性的研究（不胜枚举）是根据这里提出的方法修改或迭代.例如，有各种方法的初步估计；初步形状参数估计，已知位置参数估计；把尺度参数作为位置参数的函数；求尺度参数和形状参数最终估计，已知位置参数的最终估计.同时，已知位置参数和形状参数的初始估计，可能用迭代法重新估计每组参数，否则，直到估计收敛.
仿真实验研究了本文中基于单一样本大小的各个分布，其中，威布尔分布的样本容量为20，对数正态分布为25，伽马分布为30.在这个范围内变化的样本大小可能是在实践中最常遇到的.然而，我们研究从10到100的样本大小各种其他样本参数值分布组合，发现对于所有其他的情况，得到的结论基本上和文中相同.此外，偏差和均方误差的比较是基于无舍弃样本.由于迭代过程的不收敛，所以舍弃的样本不能用于比较，否则，迭代过程结束时的参数估计将变得不合理的大或小.所有证据表明，丢弃的样品以这样的方式损害这里提出的简单的估计性能.如果有什么的话，仿真研究结果是以这样一种方式被提出，是有利于之前提出的估计的.
最后，在他们各系列的论文中，Cohen and Whitten[2-4]承认他们提出的估计程序偶尔不能产生
指导教师：李文玲 学生：闻晶晶
共33页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 28 页 估计.他们仍然声称，对于一个既定分布的参数估计，失败的建议程序，应该被解释为对于一个不考虑数据的最合适模型的建议.这种建议可能不是很好.可能它在第2，3，4部分使用样本导致Cohen-Whitten建议的估计失败比估计成功要更好一点. 表四
§6一些例子
为了说明在前面章节中讨论的估计程序并提供例子，检查计算那些想要模拟的过程，我们随机生成样本大小为25的威布尔分布、对数正态分布、伽马分布.对于每一个生成的样本，分布的位置参数和尺度参数均分别被设为0和1，用于采样的威布尔分布、对数正态分布、伽马分布的形状参数分别为1.5，0.8，3.三个组合的样本观测值列于表四.
由Cohen and Whitten [4]给出的改进的最大似然估计，估计由（2.2）给出，通过威布尔分布的样本得到.对数正态分布用于得到Cohen and Whitten [2]推荐的修正的极大似然估计，以及（3.3）给出的估计和由Munro and Wixley [11]推荐的加权最小二乘估计.最大似然估计和（4.4）给出的估计通过伽马分布的样品得到.所有这些估计值连同它们参数估计的真值均在表五中给出. 表五
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对部分可观测的混沌系统的未知参数的估计的递推方法
Inés P.Mari?o Joaquín Mgueíz
非线性动力学混沌系统，雷伊胡安卡洛斯校长，马德里 ，西班牙
马德里卡洛斯大学推荐，德州大学，马德里，西班牙 2005年12月09日收到，2006年04月17修改，2006年07月发表
摘要：我们调查了最近提出的混沌系统的在线参数估计和同步的方法.这种新技术已被证明通过部分观察标量时间序列，有效估计出一个初级混沌系统与已知的函数形式的未知参数.它通过定期更新在二次系统感兴趣的参数，具有相同的函数形式为主，而动态变量之间没有显式耦合，以最小化一个适当定义的成本函数.在本文中，我们回顾了基本的方法，并研究其鲁棒性和新的扩展.特别是，我们研究了在存在噪声的新方法的性能（无论是观察性的，即一种添加剂污染所观察到的时间序列，或动态的，即系统动力学的随机扰动）时，有一级和二级系统之间的不匹配.数值计算结果，包括与其他技术的比较.最后，我们研究原始方法扩展到执行两个未知参数的估计，通过计算机仿真验证了其有效性.
1引言
许多问题为了匹配一个观察时间序列在科学和工程减少调整为参数动态模型.如果我们假设(a)模型是一个复制的原始观测系统,除参数调整,（b）其可调参数值模型的动态选择一个适当的如下密切观察的时间序列 ，那么模型参数估计的真实的系统参数[1].
文献中提出解决这个问题的方法，可以分为离线或在线技术.离线方法首先是收集一组观测值（例如，从接收到的时间序列样本）然后处理全套迭代产生的序列的近似的未知参数的值.在线技术过程的观测顺序和参数估计的递归计算，即现有的估计是只使用新收集的意见而不是一套完整的更新数据.离线算法计算重，虽然经常更准确，但不适合应用在该模型系统连续运行.
通常建议两种不同的程序.所谓的多种拍摄方法[2,3]是离线技术，解决未知的固定参数估计，以及在一个采样时间网格的混沌系统的动态变量的值，作为一个边界值问题， 对于一些应用程序，证明是非常有效的.然而，它们涉及多维成本函数的优化（不仅是参数估计），可以实现比较复杂的和其他函数的对比.离线估计标准的统计程序也被提出，包括近似极大似然估计，最小二乘法和矩匹配程序[4,5].一些学者还扩展了经典的贝叶斯方法的顺序（在线）的推理，包括扩展卡尔曼滤波器[ 6 ]和无迹卡尔曼滤波[ 7 ].后者已在某些情况下被证明有效，但总的来说，这些技术需要几个如线性化和/或时间的离散化的近似，以及假设任何随机扰动（即噪声）服从已知的均值和方差的高斯分布.
最近,它已被证明,同步性能的耦合混沌系统可以方便地用于设计简单的参数估计算法.假设观
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