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2??P?S?2;n1,n2???ni?i?x?i?1???1. （3.2）
liminf
n1,n2??x???2?n1F?x?1?n2F2?x?注意，对任意0???1，任意x?0，
PS?2;n1,n2??n1?1?n2?2?x
???PSn1?n1?1??1???x,Sn2?n2?2???x
??? ?P?S先估计I1,注意到，
?PSn2?n2?2??1???x,Sn1?n1?1???x
n1??n1?1??1???x,Sn2?n2?2??1???x
? :?I1?I2?I3. （3.3）
I1?PSn1?n1?2??1???x,Sn2?n2?2???x
?PSn1?n1?1??1???x?PSn2?n2?2???x. （3.4） 由Tang（2006）定理2.1得，对任意0???1，当n1??时， supx??n1??????PSn1?n1?1??1???xn1F1?1???x???1??. （3.5）
又xF2??x???F2?x?，则更有F2??x???F2?x?成立，由引理2.2，对x??n2一致的有，
????PSn2?n2?2???x???n2F2?x??.综合以上各式，对充分大的n1，n2，
I1??1???n1F1?1???x??n2F2?x? （3.6） 对x???2?一致成立.同理亦有对充分大的n1,n2，I2?n2F2????????1???x????nF?x??.
11对x???2?一致成立.最后我们估计I3，由于X11,?,X1n1,X21,?,X2n2为NA，则由Wang and Wang(2007)得，
limlimsup??0ni??x??ni??Fi??1???x?Fi?x? ?1?0,i?1,2 （3.7）
注意到X11,?,X1n1,X21,?,X2n2是NA，Sn1，Sn2也是NA.因此，由Tang(2006)的引理2.1和（3.11）得，
??I3?PSn1?n1?1??1???xPSn2?n2?2??1???x
??1???n1F1?1???xn2F2????2????1???x?
指导教师：李文玲 学生：闻晶晶
共33页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 6 页 ??1???n1F1?x?n2F2?x? （3.8） 联合(3.3)-(3.8)得，当n1,n2??时，对x???2?一致地有， PS?2;n1,n2??n1?1?n2?2?x
2????1????n1F1?x??n2F2?x?????n1F1?x??n2F2?x??
2此外，令??0，我们得到(3.2).
下面，我们再证
limsupsupP?S?2;n1,n2??n1?1?n2?2?x?n1F1?x??n2F2?x?n1,n2??x???2??1. （3.9）
任意给定???0，12?以及x?0，由NA性质、引理2.1和Tang（2006）的定理2.1,有， PS?2;n1,n2??n1?1?n2?2?x
???PSn1?n1?1??1???x?PSn2?n2?2??1???x
?PSn1?n1?1??????x?P?S?n?n22?2??x
? ?n1F1?x??n2F2?x????n1F1?x??n2F2?x? （3.10） 从而（3.9）成立.这样（3.1）对k?2时成立.
假定（3.1）对k?1时成立，下面往证结果对k时也成立.我们采用类似（3.3）的分解法，可得到
k??P?S?k;n1,...,nk???n??x?
i?1??k?1?k?i? ?P??Sni??ni?i??1???x,Snk?nk?k???x?
i?1?i?1?k?ik?1?? ?P?Snk?nk?k??1???x,?Sni??ni?i???x?
i?1i?1??????k?1?k?i??P??Sni??ni?i??1???x,Sni?ni?i??1???x? i?1?i?1?
由NA性质，注1和归纳假设得，
k??P?S?k;n1,?,nk???ni?i?x?i?1???1.
liminfinf（3.12） kn1,...,nk??x???k??niFi?x?i?1另一方面，利用归纳假设表明，
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k??P?S?k;n1,?,nk???ni?i?x?i?1???1 （3.13）
limsupsup kn1,...,nk??x???k??niFi?x?i?1结合（3.12）（3.13），定理证明成立.
定理3.2 设?Xij,j?1?i?1为一负相伴随机阵列，对i?1,?,k，具有相同的分布Fi?x??C，
k期望为?i?0，且满足xFi??x??Fi?x?,x??，如果对任意的i?1,?,k，存在某r?1使得
EXij??.再令?Ni?t??为一列相互独立的非负正整数值计数过程ENi?t????t??? ，
i?1rk?i?1,2,?,n?，且?Xij,j?1?i?1与?Ni?t??i?1相互独立.如果?Ni?t??i?1满足：对任意??0，均存在
kkk?p?JF，当t??时，使得
p ENi?t?I?N?t???1+????t?????i?t?. （3.14）
ii??则对任意固定的??max?i,i?1,2,?,k，当t??时，有
k??k P?S?k;t????i?i?t??x????i?t?Fi?t? （3.15）
i?1??i?1?????k?一致成立. 对x?max??i?t?,i?1,?,k：注3 如果假定所有的Fi?x??i?1,?,k?为同一分布，则由（3.15）可推出Chen和Zhang定理1.2.特别地，如果我们假定Xij,j?1,i?1,?,k是非负随机变量序列，可以很轻易的看出满足定理3.2的条件.所以，（3.15）验证了Liu（2007）定理2.2.如果假定Xij,j?1,i?1,?,k是一列相互独立的序列，可由（3.15）证出Wang和Wang（2007）的定理4.1.
证明 我们仍然采用数学归纳法证明本定理的结论，其证明思路与定理3.1完全相同，为简洁起见，这里我们只证明k?2情形.为此，我们首先证 liminfinft????????P?S?2;t???1?t??1??2?t??2?x?x???2??1?t?F1?x???2?t?F2?x??1. （3.16）
同理，对任意0???1以及x?0，
PS?2;t???1?t??1??2?t??2?x ?PSN???1?t???1?t??1??1???x,SN2?t???2?t??2???x
2?t?? ?PSN???2?t??2??1???x,SN1?t???1?t??1???x
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?PSN1?t???1?t??1??1???x,SN2?t???2?t??2??1???x
?J1?J2?J3 （3.17） ：
先估计J1，由于
J1?PSN???1?t? ??1?t??1??1???x?PSN2?t???2?t??2???x. （3.18）
???由Chen和Zhang（2007）的定理1.2易知
limsupPSN1?t???1?t??1??1???x?t??x????t?1?1?t?F1?1???x??1?0. （3.19）
现在对任意???0,??，令??0， PSN??2?t???2?t??2???x
???PSn?n?2???x??n??2?t???2P?N2?t??n?
n?1?? ???x??n???????2?2t???x??x??n???????2
2t???x :?K1?K2 （3.20） 首先，运用引理2.2，我们得到
K???x??n????2?t??P?Sn??2?t??2???x?P?N2?t??n?
2???x?
??x??n????2?t??2???x??nF2?x??P?N2?t??n?
222 ??F2?x?? ??t??n??????t?F?? x （3.21）?N??nPn?1??现在我们估计K2,为简单起见，我们声明在下文中??????2属于C.事实上，对任意p?JF2，
?2?0，用Tchebychef不等式，我们可得出
K2???x??n????2?t??P?Sn??2?t??2???x?P?N2?t??n?
2???xpEN?t?I?N2?t??Cx+?2?t????2??? ?P?N2?t?? x??2?t??p????2?Cx??2?t???? ?EN2p?t?I?N2?t???1?C???2?t???Cx?p?C?px?p???2?t??
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共33页 河南理工大学本科毕业论文外文文献资料翻译 第 9 页 ?? ???t?F?x??. （3.22）
22由Tang（2006）引理2.1中的x?p??F2?x?，最后一个等式成立.联合(3.18)-(3,22)得，对任意??0都有
同理可得J2??1????2?t?F2??J1??1????1?t?F1??1???x?????2?t?F2?x??. （3.23）
??1???x??????t?F?x??.最后我们估计J3，类比（3.7）我们易得
11 limlimsup注意到Ni?t?可得，
Fi??1???x?Fi?x????t??x????t?i ?1?0,i?1,2. （3.24）
??2i?1相互独立以及Xij??2i?1为NA序列，由引理2.1，Chen和Zhang（2007）以及（3.24）
J3?PSN1?t???1?t??1??1???xPSN2?t???2?t??2??1???x
??1?t?F1?1???x?2?t?F2????????1???x?
???1?t?F1?x???2?t?F2?x?. （3.25） 所以，用（3.23）-（3.25），令??0，对任意充分大的t，x???2?，由
??liminfinft??P?S?2;t???1?t??1??2?t??2?x?x???2??1?t?F1?x???2?t?F2?x??1
证出（3.16）
另一方面，我们再证明 limsupsupt??P?S?2;t???1?t??1??2?t??2?x?x???2??1?t?F1?x???2?t?F2?x??1. （3.26）
注意到对任意???0,12?以及x?0并利用NA性质和（3.10）相同的方法，当t??,x???2?时，有
PS?2;t???1?t??1??2?t??2?x
???? ?P?S???t????x?P?S???t?? ?PSN1?t????1?t??1??1???x?PSN2?t???2?t??2??1???x
11N2?t?22?N1?t???x
???1?t?F1??1???x???2?t?F2??1???x???1?t?F1??x??2?t?F2??x?
??1?t?F1?x???2?t?F2?x????1?t?F1?x??2?t?F2?x? （3.27） 这样我们得到（3.26）.
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