习题10-1
1. 指出下列方程的阶数：
2(1)x4y????y???2xy6?0． (2)LdQ?RdQ?Q?0． 2dtcdtdρ(3)?ρ?cos2θ． (4)(y?xy)dx?2x2dy?0．
dθ解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶
2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)xy??2y, y?Cx2．
(2)(x+1)dy?y2dx, y?x+1．
(3)y???2y??y?0， y?xe?x．
2d(4)s??0.4， s??0.2t2?c1t?c2． 2dt解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可；
(3)是，因为 y??e?x?xe?x,y????2e?x?xe?x，满足y???2y??y?0；
2dsds (4)是，代入，??0.4t?C1,2??0.4，显然满足. dtdt3. 验证:函数x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程
d2x?k2x?0 dt2的通解.
解：x?(t)??C1ksinkt?C2kcoskt,x??(t)??C1k2coskt?C2k2sinkt,满足dx?k2x?0，所以2dt是解，又因为含有两个任意常数C1,C2，且方程是二阶的，故是通解.
2d4. 已知函数x=C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程x?k2x?0的通解,求满足初始条件 2dtx| t?0 ?2? x?| t?0 ?0
2的特解.
解：上题可知是微分方程通解，且x?(t)??C1ksinkt?C2kcoskt,代入初值条件x|t?0?2,x?|t?0?0，得C1?2,C2?0，所以特解为x?2coskt(k?0).
习题10-2
1. 求下列微分方程的通解：
3(1)?y?1?y??x?0； (2) y??2x?y；
2(3) sinxcosydy?sinycosxdx； (4) dx?xydy?ydx?ydy；
22(5) y?x2dydydyx?y?xy； (6) ； ?dxdxdxx?ydyy212?(7) ； (8) y?tan(x?2y)． ?22dxxy?x解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得
?y?1?两端分别积分：
2dy=?x3dx
- 1 -
113?y?1?=?x4+C,34这就是方程通解 .
(2)这是可分离变量方程，分离变量得
2?ydy=2xdx两端分别积分：
?2?y?2x+ln2?Cy1,即2x+2??C?0(C?ln2?C1)
这就是方程通解 .
(3)这是可分离变量方程，分离变量得
cosysinydy?cosxsinxdx
两端分别积分：
?lnsiny??lnsinx?lnC,即siny?Cesinx
这就是方程通解 .
(4)这是可分离变量方程，分离变量得
yy2?1dy=1x?1dx
两端分别积分：
12ln(y2?1)?ln(x?1)+12lnC,即y2?C(x?1)2+1 这就是方程通解 . (5)这是齐次方程，令u?ydyx,则
dx?u?dudx,代入原方程并整理 u?1udu?dx
两端分别积分：
u?lnu?x?C即
yx?lnyx?x?C 这就是方程通解 .
(6)这是齐次方程，化简得
1?ydydx?x
1?yx令u?ydyx,则
dx?u?dudx,代入原方程并整理 u?11?2u?u2du?dx，两端分别积分：
?12ln1?2u?u2?x?12C2yy2即ln1?x?x2?x?C?0
这就是方程通解 .
(7)这是齐次方程，化简得
- 2 -
?y??dy?x???dx1?yx令u?2
dyduy?u?,代入原方程并整理 ,则
xdxdxu?1du??dx，两端分别积分：u?lnu??x?C uyy即?ln?x?C?0 xx这就是方程通解 .
(8)这是特殊方程，用换元法，令u?x?2y,则
dy1?du????1?,代入原方程并整理 dx2?dx?11cos2udu?dx，两端分别积分：u?sin2u?x?C
24即4y?2x?sin(2x?4y)?4C?0
这就是方程通解 .
2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) y??ysinx， y(0)?1；
3x(y2?1)(2) y??2， y(0)?0； 2(x?1)dyyy???tan，y(1)?； (3)
dxxx6dxdy(4) 2，y(0)?1． ?22x?xy?y2y?xy解 (1)分离变量：
1dy?sinxdx． y3两端分别积分：
?解得：
1dy??sinxdx． y31??cosx?C． 2y21将y(0)?1代入通解中，求得C?．故所求特解为
21?2cosx?1． 2y?(2)分离变量：
1xdy?dx． y2?1(x2?1)2两端分别积分：
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11arctany???2dx?C．
2(x?1)1将y(0)?0代入通解中，求得C?．故所求特解为
2111arctany???2dx?．
2(x?1)2dyduy?u?,代入原方程并整理 (3) 这是齐次方程,令u?,则
xdxdx1du?dx. tanu两边积分得
lnsinu?x?lnC,即sinu?Cex.
变量回代得所求通解
siny?Cex. x
1??由y(1)?代入通解，得C?e6，故所求初值问题的解为
62y1??sin?e6ex.x2
?3. 一曲线在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，且通过点(1,2)，求该曲线方程.
解：设曲线方程为：y?f(x)
2y?0y??,且y(1)?2，
0?2xxC?2，
解分离变量方程得：xy?C,由y(1)?2得
由题意可得方程: y??故所求曲线为：xy?2.
4. 物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决.现设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间t的变化规律.
解 设物体的温度T与时间t的函数关系为T?T(t),建立该问题的数学模型:
?dT(1)???k(T?20) ?dt(2)??T|t?0?100其中k(k?0)为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得两边积分
dT??kdt; T?201dT??kdt,得ln|T?20|??kt?C1(其中C1为任意常数)， T?20即 T?20??e?kt?C1??eC1e?kt?Ce?kt(其中C??eC1). 从而T?20?Ce?kt,再将条件(2)代入,得C?100?20?80,
??于是，所求规律为T?20?80e?kt.
习题10-3
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1. 求下列微分方程的通解：
(1) y??ysinx?ecosx； (2) 2y??y?ex；
(3) xy??(x?1)y?e2x； (4) y2dx?(x?2xy?y2)dy?0；
3(x?1)y(5) (x?ey)y??1； (6) y?? ?2(x?1)2y解 (1) 这是一阶线性非齐次方程，其中P(x)?sinx,Q(x)?ecosx． 首先求出?Pdx??sinxdx??cosx (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为
?Pdx?PdxPdxy?Ce??e??Qe?dx
?Cecosx?xecosx．
(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中P(x)??1,Q(x)?1ex．
22首先求出?Pdx??x (积分后，不再加任意常数)，
2然后用公式(10-6)可得所求通解为
?Pdx?PdxPdxy?Ce??e?Qe?dx
?x?Ce?．
4(3) 这是一阶线性非齐次方程，其中P(x)?1?1,Q(x)?1e2x．
xx首先求出?Pdx?lnx?x (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为
?Pdx?PdxPdxy?Ce??e??Qe?dx
x2exe2x?C??．
xx
(4)将x看作y的函数，即对x?x(y)进行求解，可将原方程化为未知函数为x?x(y)的线性方程
1?2ydx?x??1， dyy2于是，P(y)?1?2yQ(y)?1． y2首先求出?Pdy??1?2lny，然后代入通解公式，可得所求通解为
y?1?2lny??yx?edy?C? ??1?e??11?1?12y?2yy ?ye??2?edy?C??Cye?y2.
?y?1?2lnyy
(5)将x看作y的函数，即对x?x(y)进行求解，可将原方程化为未知函数为x?x(y)的线性方程
dx?x??e?y， dy于是，P(y)??1Q(y)??e?y．
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