(1) (1+x)y″+y′=ln(1+x)； (2) y″+3y′+2y=2x2+x+1； (3) y″+2y′-3y=2ex； (4) y″+y=x+cosx.
解 (1)易见不显含y，令y??p(x),则y??=p?,代入方程得?1?x?p??p?ln?1?x?，
ln?1?x?1p(C1?(x?1)ln(x?1)?x) ，所以p(x)??x?11?x1?xC?x?1?ln(x?1)，两边积分y??p(x)dx=(x?C1+2)ln(1?x)?2x?C2. x?1(2)这是二阶常系数非齐次方程，由p=2?0,设特解为y??Ax2?Bx?C，带入方程并
5132对比两端x的系数，得A?1,B??5,C?13，故非齐次特解为y*?x?x? ；齐次通
2424513?x?2x2解为y?C1e?x?C2e?2x，从而方程通解为y?C1e?C2e?x?x?.
24即p??(3) 这是二阶常系数非齐次方程，因为α?1是特征方程r2?2r?3?0的单根，所以取
k?1．设特解为y?Bxex，代入原方程后，解得B?1，故方程的一个特解为：y?1xex.
22所求的通解为
1y?C1ex?C2e3x?xex.
2(4) f(x)?x?cosx可以看成是f1(x)?x与f2(x)?cosx之和．所以分别考察方程y???y?x与方程y???y?cosx的特解．
容易求得方程y???y?x的一个特解为：y1?x．
容易求得方程y???y?cosx的一个特解为：y2?1xsinx．
2于是原方程的一个特解为y?y1?y2＝x?1xsinx． 2又原方程所对应的齐次方程y???4y?0的通解为Y?C1cosx?C2sinx， 故原方程的通解为y?C1cosx?C2sinx?x?1xsinx. 29. 解下列差分方程： (1) yt+1+4yt=2t2+t-1； (2) yt+1-yt=t·2t+3.
*
解 (1) 由于a=4，令 yt=A0+A1t+A2t2 (待定系数)，代入方程得
y*t??36123612?t?t2，故原方程的通解为yt???t?t2?C(?4)t. 125255125255(2) 分别求yt+1-yt=t·2t和yt+1-yt=3的特解，
*
对yt+1-yt=t·2t，由a=3，b=2，可设原方程有一特解为yt=(A0+A1t)2t，代入原方程，
*
可解得y*t?(?2?t)2t；对yt+1-yt=3，由a=1，可设原方程有一特解为yt=Bt，代入原方程，可解得y*t?3t；
故原方程的通解为yt?C?(?2?t)2t?3t
（B）
1. 设曲线y=f(x)过点(0，-1)，且其上任一点处的切线斜率为2xln(1+x2)，则f(x)= .
2解 易得微分方程 y??2xln1?x，
222直接积分得 y?2xln1?xdx=ln1?xd1?x，
?????利用分部积分法y?(1?x)ln?1?x??x?22????2?C，过点(0，-1)，代入可得C??1，
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所以f(x)= (1?x2)ln1?x2?x2?1.
2. 某企业每年的工资总额在比上一年增加10%的基础上再追加奖金3百万元.若以yt表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则yt满足的差分方程是 .
解 易见 yt?1?yt(1?0.01)?3，所以差分方程为yt?1.1yt?1?3.
3dyyy3. 微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是 . ??dxx2x3ydydu，带入方程得，du1解 令?u,则y?xu,所以?u?xx??u3,求解得
dx2xdxdx??u?2x??lnx?C,即??y??lnx?C,代入条件y(1)=1，可得C?1，化简得y????2xlnx?1. 4. 差分方程2yt+1+10yt=5t的通解是 .
解 由a??5?1，设特解为y*t?Bt?A，代入得A??55,B?，所以通解为 7212yt?C(?5)t?55?t. 72125. 设三个线性无关函数y1，y2，y3都是二阶线性非齐次微分方程y″+Py′+Qy=f(x)的解，C1，C2是独立的任意常数，则该方程的通解是 .
A C1y1+C2y2+y3
B C1y1+C2y2-(C1+C2)y3 C C1y1+C2y2-(1-C1+C2)y3 D C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3
解 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，y1?y2，y1?y3,y2?y3是齐次方程y″+Py′+Qy=0的解，而且是线性无关的，所以齐次通解为：C1y1?C2y2?(?C1?C2)y3，非齐次特解为：y*?y1?x?或y*=y2?x?或y*=y3?x?，所以选择D.
6. 设f(x)=g1(x)·g2(x)，其中g1(x)，g2(x)在(-∞，+∞)内满足条件
g1′(x)=g2(x)， g1(x)=g2′(x)，
且g1(0)=0，g1(x)+g2(x)=2ex.
(1) 求f(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出f(x)的表达式.
2?(x)g2(x)?g1(x)g2?(x)?g2解 (1) f?(x)?g1(x)?g12(x)
?[g1(x)?g2(x)]2?2g1(x)g2(x)?(2ex)2?2f(x)
故f(x)所满足的一阶微分方程为：f?(x)?2f(x)?4e2x.
?2dx2dx(2) f(x)?e?(?4e2xe?dx?C)?e?2x(?4e4xdx?C)
由g1(0)=0，则f(0)=g1(0)·g2(0)=0，代入上式得：C??1 所以f(x)的表达式为：f(x)?e2x?e?2x
.
7. 设连续函数f(x)满足f(x)?2x?f(tx)dt?ex(1?x)，且f(0)=1，求f(x).
012?e?2x(e?C)?e?Ce4x2x?2x解 设y?F(x)?x1?x0f(u)du,显然y??f(x)，
112；又令u?xt,当u?0时，t?0;当u?x时，t?1且du?xdt，
?xe(1?x)则?f(u)du=?f(tx)?xdt?f(x)?x?f(tx)dt?y，所以f(x)?2x?0f(tx)dt000 - 17 -
可化为微分方程y??2y?ex(1?x)，这是一阶线性非齐次方程，解得
22?PdxPdx y?e?(?Qe?dx?C)?Ce2x?1ex，y??f(x)?2Ce2x?xex，又因为f(0)=1，可得
222C?1，所以f(x)?e2x?xex.
8. 在xOy坐标平面中，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a>0).
(1) 求L的方程；
(2) 当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为4时，确定a的值.
解 (1)由题意可得方程y??P(x)??2y?ax，这是一阶线性非齐次方程，其中x1Q(x)?ax，所以y?e??Pdx(Qe?Pdxdx?C)?Cx?ax2，又曲线L过点M(1，0)，故,?x2x?222C??a，所以曲线方程为y= ax2 –ax.
14aax?ax? dx?(ax?ax3)??4，(2)由定积分的知识可知，围成面积S???ax? 033x?0故a?3.
9. 验证函数
3693ny?1?x?x?x???x??(???x???)
3!6!9!(3n)!3n满足微分方程y″+y′+y=e；利用所得结果求幂级数?x的和函数.
n?0(3n)!x
?258解 y??x?x?x???2!5!8!n?31x??(???x???) ,n(?31)!473n?2xxxy???x???????(???x???),
4!7!(3n?2)!x2x3xny??y??y?1?x????????ex(???x???),
2!3!n!所以是微分方程的解，下面我们来求微分方程y″+y′+y=ex的通解，这是常系数二阶
?xy??y??y?0的通解为：Y?e2(C1cos3x?C2sin3x)，故y″+y′+y=ex通解为
22?x331y?Y?y?e2(C1cosx?C2sinx)?ex，令
223?xx3x6x9x3n331y?1?????????e2(C1cosx?C2sinx)?ex，下面确定系
3!6!9!(3n)!223数，令x?0，得1?C1?1，即C1?2，两边同时求导得
332583n?1xxxxy?????????2!5!8!(3n?1)!131333331?e(?C1cosx?C2sinx?C1sinx?C2cosx)?ex222222223?x2
再令x?0，得?1C1?3C2?1?0，即C2?0，所以
223?x3n369xxxxx3n2?231?1?????????ecosx?ex. ?3!6!9!(3n)!323n?0(3n)!
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