(2) 特征方程r2?2r?1?0的根为：r1?r2?1,通解为y?C1ex?C2xex；代入初值条件y(0)?y?(0)?1，得C1?1,C2?0，方程特解为y?ex.
5. 求下列微分方程的一个特解：
(1) y???2y??3y?3x?1； (2) y???9y??x?4；
(3) y???2y??y?ex； (4) y???9y?cosx?2x?1.
解：(1) 因为f(x)?3x?1，且y的系数q??3?0，设特解为y??Ax?B． 则??y????A，?y?????0，代入原方程，得?2A?3(Ax?B)?3x?1， 使两端x同次幂的系数相等：A??1,B?1,所求的特解为y???x?1．
22(2) 因为f(x)?x?4，且y的系数q?0，设特解为y??x(Ax?B)．
则??y????2Ax?B，?y?????2A，代入原方程，使两端x同次幂的系数相等 得，A?1,B??37,所求的特解为y??1x2?37x．
18811881(3) ??1是特征方程r2?2r?1?0的重根，取k?2，所以可设原方程的特解为y?Bx2ex，则
?y??2Bxex?Bx2ex，y???2Bex?4Bxex?Bx2ex，代入原方程得解得B?1，
2故方程有一特解为y?1Bx2ex.
2(4) f(x)?cosx?2x?1可以看成是f1(x)?2x?1与f2(x)?cosx之和． 所以分别求方程y???9y?2x?1与方程y???9y?cosx的特解． 容易求得方程y???9y?2x?1的一个特解为：y1?2x?1．
99另求得方程y???9y?cosx的一个特解为：y2?1cosx．
8于是原方程的一个特解为y?y1?y2＝2x?1?1cosx．
998习题10-6
1. 求下列函数的一阶与二阶差分：
(1) yt=3t2-t3； (2) yt=e2t； (3) yt=lnt； (4) yt=t2·3t.
23解：(1) ?yt?［3?t?1???t?1?］??3t2?t3???3t2+3t?2,
?2yt??(?yt)????3t2+3t?2???6t；
(2) ?yt?e2(t?1)?e2t?e2t(e2?1),
?2yt??(?yt)???e2t(e2?1)??(e2?1)??(e2t)?e2t(e2?1)2，
(3) ?yt?ln(t?1)?lnt,
?2yt??(?yt)???ln(t?1)?lnt??ln(t?2)?2ln(t?1)?lnt (4) ?yt??t?1?3t?1?t23t?3t?2t2?6t?3?,
2?2yt??(?yt)??3t?2t2?6t?3??3t?1?2(t?1)2?6t?9??3t?2t2?6t?3???
?3t?4t2?24t?30?
2. 将差分方程Δ2yt+2Δyt=0表示成不含差分的形式.
解：因为?yt?yt?1?yt，Δ2yt?Δ(Δyt)?Δyt?1?Δyt?yt?2?2yt?1?yt， 故?2yt?2?yt?0可化为yt?2?2yt?1?yt?2(yt?1?yt)?yt?2?yt?0 3. 指出下列等式哪一个是差分方程，若是，确定差分方程的阶：
- 11 -
(1) yt+5-yt+2+yt－1=0; (2) Δ2yt-2yt=t； (3) Δ3yt+yt=1； (4) 2Δyt=3t-2yt； (5) Δ2yt=yt+2-2yt+1+yt.
解：(1) 是差分方程.由于方程中未知函数下标的最大差为6，因此方程的阶为7； (2) 是差分方程.由于?2yt?yt?2?2yt?1?yt，方程变为yt?2?2yt?1?yt?t，方程中未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；
(3)是差分方程.由于Δ3yt?yt?3?3yt?2?3yt?1?yt，方程变为yt?3?3yt?2?3yt?1?1，未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；
(4) 将原方程变形为2(yt+1-yt)= 3t-2yt，即2yt+1=3t,不符合定义3′，因此，该等式不是差分方程.
(5) 不是差分方程.由于?2yt?yt?2?2yt?1?yt，方程变为0?0，所以不是差分方程.
4. 验证yt=C(-2)t是差分方程yt+1+2yt=0的通解.
解：yt?1?2yt?C(?2)t?1?2C(?2)t?0，所以是解，又方程的阶数是1，所以是通解.
习题10-7
1. 求下列一阶常系数线性齐次差分方程的通解： (1) yt+1-2yt=0； (2) yt+1+3yt=0； (3) 3yt+1-2yt=0.
解：(1)特征方程为：λ-2=0,特征根为λ=2，于是原方程的通解为 yt=C2t. (2)特征方程为：λ+3=0,特征根为λ=-3，于是原方程的通解为 yt=C(-3)t. 2. (2)特征方程为：3λ-2=0,特征根为???2，于是原方程的通解为yt?C?33??t2. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解：
(1) yt+1-3yt=0，且y0=3； (2) yt+1+yt=0，且y0=-2.
t解 (1)特征方程为??3?0,特征根为??3，于是原方程的通解为yt?C3. 将初始条件y0=3代入，得出C=3，故所求解为yt?3t?1.
(2)特征方程为??1?0,特征根为???1，于是原方程的通解为yt?C(?1)t. 将初始条件y0=-2代入，得出C=-2，故所求解为yt??2(?1)t. 3. 求下列一阶常系数线性非齐次差分方程的通解： (1) yt+1+2yt=3； (2) yt+1-yt=-3； (3) yt+1-2yt=3t2； (4) yt+1-yt=t+1; 5?(5) yt?1?1yt????； 2?2?t(6) yt+1+2yt=t2+4t.
解 (1) 由于a=-2，k=3，令y*t=A(待定系数)，代入方程得A+2A=3，从而A=1，即y*t=1，故原方程的通解为yt=C(-2)t+1.
(2) 由于a=1，k=-3，令y*t=At(待定系数)，代入方程得A=-3，即y*t=-3t，故原方程的通解为yt=-3t+C.
**
(3) 设yt=A0+A1t+A2t2为原方程的解，将yt代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得
A0=-9，A1=-6，A2=-3.
从而y*t??9??6t?3t2,故原方程的通解为
yt??9??6t?3t2?C2t.
- 12 -
(4) 由于a=1,设yt=(A0+A1t)t为原方程的解，将yt代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得A0?A1?1,从而y*t?1t(t?1),故原方程的通解为
22 yt?1t(t?1)?C.
25(5) 由a?1，k?1，b?5，令原方程有一个特解为y*t?A·()t，解得A?3.
222535t1()?C. 于是原方程的通解为yt?·522**
??t(6)设f1(t)= t2，f2(t)= 4t，则f(t)=f1(t)+f2(t).
*
对于f1(t)= t2，因a=-2≠1，可令特解yt1= A0+A1t+A2t2；
*
对于f2(t)= 4t，因a=-2≠4，可令yt2=B4t
*
故原方程的特解可设为yt= A0+A1t+A2t2 +B4t，代入原方程，得
1211A0??，A1??，A2?,B??，
27934121121于是yt??? ??t?t2?4t?1，故所求通解为yt?? ??t?t2?4t?1?C(?2)t. 279327934. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解： (1) yt+1-yt=3+2t，且y0=5； (2) 2yt+1+yt=3+t，且y0=1; (3) yt+1-yt=2t-1，且y0=2.
**
解 (1) 由于a=1,设yt=(A0+A1t)t为原方程的解，将yt代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得A0?2,A1?1,从而y*t?t(t?2),故原方程的通解为yt?t(t?2)?C.又有初始条件y0=5，可知C?5，故特解为yt?t(t?2)?5.
**
(2) 由于a??1,设yt=A0+A1t为原方程的解，将yt代入原方程并整理，比较同次幂系数,
2可得A0?7,A1?1,故原方程的通解为yt?1t?7?C(?1)t.又有初始条件y0=1，可知C?2，
933929故特解为yt?1t?7?2?(?1)t.
3992(3) 由a=1可知，对应的齐次方程的通解为yt=C. 设f1(t)=2t，f2(t)=-1，则f(t)=f1(t)+f2(t).
**
对于f1(t)=2t，因a=1≠3，可令yt1=A2t；对于f2(t)=-1，因a=1，可令yt2=Bt.故原方程
*
的特解可设为yt=A2t+Bt，代入原方程，得A?1，B??1,故所求通解为yt?C?2t?t
又有初始条件y0=2，可知C?1,故特解为yt?1?2t?t.
5. 某人向银行申请1年期的贷款25000万元，约定月利率为1%，计划用12个月采用每月等额的方式还清债务，试问此人每月需付还银行多少钱？若记yt为第t个月后还需偿还的债务，a为每月的还款额，写出yt所满足的差分方程以及每月还款额的计算公式.
解 先对问题的进行分析， 第1个月后还需偿还的贷款为
y1= y0 (1+1%)-a;
第2个月后还需偿还的贷款为
y2=y1(1+1%)-a;
……
第t+1个月后还需偿还的贷款为
yt+1=yt (1+1%)-a ，
即
- 13 -
yt+1-1.01yt=-a.
这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程，其对应的齐次方程的特征根为λ=1.01≠1，设差分方程有特解y*t=A，代入得到A?100a，于是有通解
yt?C(1.01)t?100a.
代入初始条件y0=25000，及y12?C(1.01)t?100a?0得
?C?100a?25000， ?12C(1.01)?100a?0?从上面的等式解得
25000?1.0112.
100?1.0112?1006. 设某产品在时期t的价格、供给量与需求量分别为Pt，St与Qt(t=0，1，2，…).并满足关系：(1)St=2Pt+1，(2)Qt=-4Pt－1+5，(3) Qt=St.
求证：由(1)(2)(3)可推出差分方程Pt+1+2Pt=2.若已知P0，求上述差分方程的解. 解 由题意可得2Pt+1=-4Pt－1+5，即2Pt+1=-4Pt+4，得差分方程Pt+1+2Pt=2，
容易求得方程的特解为：y*?2，方程的通解为：y?2?C(?2)t,当t?0时,y?p0，
33222所以C?p0?,故所求差分方程的解为y??(p0?)(?2)t.
3337. 设Ct为t时期的消费，yt为t时期的国民收入，I=1为投资(各期相同)，设有关系式 Ct=ayt－1+b，yt=Ct+1，
其中a，b为正常数，且a<1，若基期(即初始时期)的国民收入y0为已知，试求Ct，yt
表示为t的函数关系式.
解 由Ct=ayt－1+b，yt=Ct+1，得yt?ayt－1?b?1，又因为a<1，故可设特解为y*?A，代
1?b,故所入得A?b?1，所以方程的通解为y?b?1?Cat，当t?0时,y?y0，所以C?y0?1?a1?a1?aa?求差分方程的解为yt?(y0?1?bt1?b1?bta?b)a?)a?，从而Ct?(y0?. 1?a1?a1?a1?a
复习题10 （A）
1. 通解为y=Ce-x+x的微分方程是 .
解 方程是一阶的，y???Ce?x?1，方程为y??x?y?1.
2. 通解为y=C1ex+C2e2x的微分方程是 .
2解 易见这是二阶常系数方程的解，特征根为r1?1,r2?2,特征方程为r?3r?2?0 所以微分方程为y???3y??2y?0.
3. 微分方程xdy-(x2ex+y)dx=0的通解是 . －
解 方程可化为y??y?xe?x，通解为y??xe?x?Cx. x4. 微分方程xy′+y=0满足初始条件y(1)=1的特解是 . 解 分离变量得
dydx??，通解为xy?C，初始条件y(1)=1特解为xy?1. yx5. 设非齐次线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)与y2(x)，C是任意常数，
则该方程的通解是 .
A C［y1(x)+y2(x)］ B C［y1(x)-y2(x)］
- 14 -
C y1(x)+C［y1(x)-y2(x)］ D y1(x)+C［y1(x)+y2(x)］
解 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，齐次通解Y?C，非齐次特解［y1?x??y2?x?］为：y*?y1?x?或者y*=y2?x?，所以选择C.
6. 微分方程y″+4y=sin2x的一个特解形式是 .
A Ccos2x+D(sin2x) B D (sin2x)
C x［Ccos2x+ D (sin2x)］ D x·D (sin2x)
解 因为α?0，??2，???i?2i是特征方程r2?4?0的根，所以取k?1．设特解为 y?x?Ccos2x?Dsin2x?．选择C.
7. 解下列一阶微分方程： (1) (1+y2)dx=xy(x+1)dy； (2) x(y′+1)+sin(x+y)=0；
yy(3) (x?ycos)dx?xcosdy； (4) xy′+2y=sinx；
xx(5) tanydx=(siny-x)dy； (6) (y-2xy2)dx=xdy.
y1dy?dx，积分得1ln(1?y2)?1lnC?ln(x)， 解 (1)分离变量222x?1x?x?1?1?y2化简得C(1?y)?(x2)； x?11?cos(x?y)C?.
sin(x?y)x(2)令u?x?y,则dydu??1，原方程化为xdu?sinu?0,即du??dx，积分得
dxsinuxdxdxln(cscu?cotu)??lnx?lnC，化简并整理得通解：
yycos)dyxx?,令u?y,则dy?xdu?u，原方程化为cosudu?dx，(3) 原方程可化为yxdxxdxdxcosxy积分得sinu?ln|x|?C,方程通解为sin?ln|x|?C.
x(4)这是一阶线性非齐次方程，P(x)?2,Q(x)?sinx，所以方程通解为
xx(1??PdxPdx1y?e?(?Qe?dx?C)?2?sinx?xcosx?C?
xdxsiny?x(5) )设x?x(y)，方程化为这是一阶线性非齐次方程，???xcoty?cosy，
dytanyP(y)?coty,Q(y)?cosy，所以方程通解为
?PdyPdy1?12?x?e?(?Qe?dy?C)?siny?C??
siny?2?dy y?xy2y(6)方程可化?这是伯努利方程，其中P(x)??1,Q(x)??2,n?2，??2y2，
xdxxx所以方程通解为y1?n?e??(1?n)P(x)dx2?Q(x)(1?n)e?(1?n)P(x)dxdx?C??x?C,即 ???x??x2y?x?Cy.
8. 解下列二阶微分方程：
- 15 -