首先求出?Pdy??y，然后代入通解公式，可得所求通解为
x?ey??e?y?e?ydy?C
??
?1e?y?Cey.
2(6)令u?dyduy,则?u?(x?1),代入原方程并整理 x?1dxdx2udxdu?. 23?ux?1两边积分得
ln(u2?3)??lnx?lnC,
变量回代得所求通解
y2C?3?. 2(x?1)x
2. 求解下列初值问题：
(1) (y?2xy)dx?x2dy?0，yx?1?e； (2)xy??y?sinx，y(π)?1； y，y(2)?1； x?y2(4) y??y?xy5，y(0)?1.
(3) y??解 (1)这是一个齐次线性方程,整理得其通解为y?Ce故所求特解为
y=x2ex．
1dy(1?2x)??y?0， dxx2??(1?2x)x2dx=Cxe，将初始条件yx?1?e代入上式，可得C?1，
12x(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中P(x)?1,Q(x)?1sinx．
xx首先求出?Pdx?lnx (积分后，不再加任意常数)， 然后用公式(10-6)可得所求通解为
?Pdx?PdxPdxy?Ce??e??Qe?dx
?C?cosx x??1?cosx．
将初始条件y(π)?1代入上式，可得C???1，故所求特解为
x(3)将x看作y的函数，即对x?x(y)进行求解，可将原方程化为未知函数为x?x(y)的线性方程
dx1?x??y， dyyy?于是，P(y)??1Q(y)??y．
y首先求出?Pdy??lny，然后代入通解公式，可得所求通解为
- 6 -
?1?x?y???(?y)dy?C?
?y? ?Cy?y2.
将初始条件y(2)?1代入上式，可得C?3，故所求特解为
x?3y?y2．
(4) 这是伯努利方程，以y5除方程的两端,得
dyd(y?4)1?4y?y?x,即??y?4?x, dx4dxdz?4z??4x. 令z?y?4,则上述方程变为 dx1解此线性微分方程(过程略)，可得z??x??Ce?4x，
41得所求通解为y?z4?(?x??Ce?4x)4，将初始条件y(0)?1代入上式，可得C?3，故
44所求特解为
13y?z4?(?x??e?4x)4．
443. 通过适当变换求下列微分方程的通解：
dy4(1) dy?1?1； (2) ?y?x2y. dxxdxx?ydydu解 (1)令y?x?u则??1,原方程化为
dxdxdu1??. dxu分离变量,得
udu??dx， 两端积分得
u2??x?C 2以y?x?u代入上式,得通解
?5(y?x)2??x?C 2.
(2)这是伯努利方程，其中n?14,P(x)??,Q(x)?x2，则有公式得通解 2x?(1?n)P(x)dx??(1?n)P(x)dxdx?C? ?y?e???Q(x)(1?n)e???1 ?e2lnx(?x2??e?2lnxdx?C)
21?(x?C)x2. 24. 求过原点的曲线，使其每一点的切线斜率等于横坐标的2倍与纵坐标之和. 解：由题意可得方程
dy?2x?y， dx这是一阶非齐次线性方程，其中P(x)??1,Q(x)?2x，然后用公式(10-6)可得所求通解
y1?n12为
?Pdx?PdxPdxy?Ce??e??Qe?dx
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??2x?2?Ce?x.
习题10-4
1. 求下列微分方程的通解：
(1) y???sinx?2x； (2) y????e2x?cosx；
(3) xy??-2y??0 ； (4) xy???y??4x； (5) y??=2(y?)2； (6) y3y???1
解：(1) y???cosx?x2?C1,
y??sinx?13x3?C1x?C2,
(2) y???12e2x?sinx?C11,y??4e2x?cosx?C1x?C2,
y?18e2x?sinx?12C21x?C2x?C3.
(3) 该方程是不显含y的方程，令y??p，则y???p?.原方程化为一阶方程
xp??2p?0． 分离变量，得
1pdp?2xdx. 两边积分得: p?C21x再积分一次即得原方程的通解为 y?13C31x?C2．
(4) 该方程是不显含y的方程，令y??p，则y???p?.原方程化为一阶方程
xp??p?4x． 整理，得
p??px?4， 这是一阶非齐次线性方程，解得p?C1x?2x再积分一次即得原方程的通解为y?C1lnx?x2?C2．
(5)该方程是不显含x的方程，令y??p，则y???pdpdy,原方程化为 pdpdy?2p2． 分离变量得
dpp?2dy．两边积分得： p?C2y11e．
再由
dydx?C2y11e，解得e?2y?C1x?C2． (6)该方程是不显含x的方程，令y??p，则y???pdpdy,原方程化为
pdp?dyy3．
2C2得p??11y?1dyC1y2?1y2?C1?y2．解得：dx?y
可解得通解为：C1y2?1?(C1x?C22)．
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2. 求解下列初值问题：
(1) y????12x?cosx,y(0)??1,y?(0)?y??(0)?1；
(2) x2y???xy??1,yx?1?0,y?x?1?1；
(3) yy???(y?)2，y(0)?y?(0)?1. 解 (1)相继积分三次得出:
141 x?sinx?C1x2?C2x?C3，y???6x2?sinx?C1，y??2x3?cosx?C1x?C2，y?22以y(0)??1,y?(0)?y??(0)?1代入后可得出C1?1,C2?2,C3??1，于是所求特解为
y?y?12x4?sinx?12x2?2x?1． (2)令y??p,代入方程并整理,有p??1xp?1x2.
这是一阶线性非齐次方程，代入公式，得
p?y??1x(C1?lnx)
由条件?y?x?1?1得C1?1,所以y??1x(1?lnx)
两端再积分,得y?lnx?12(lnx)2?C2.
又由条件?yx?1?0,?得C2?0,
于是所求初值问题的解为
y?lnx?1(lnx)22.
(3)令y??p,由y???pdpdy代入方程并化简得
ydpdy?p. 上式为可分离变量的一阶微分方程，解得p?y??Cy 再分离变量,得
dyCy?dx, 由初始条件y(0)?y?(0)?1得出C?1, 从而得
dyy?dx, 再两边积分,得y?C1ex, y(0)?1，得C1?1,从而所求特解为y?ex.
3. 已知平面曲线y?f(x)的曲率为y??(1?y?)32,求具有常曲率K(K?0)的曲线方程.
解：由题意得方程y??(1?y?)32?K(K?0)，令y??p(x),代入方程,有p??K(1?p)32 即dp(1?p)3?Kdx.解之，得?1p?Kx?C221?1 dp?Kdx.
(1?p)32
习题10-5
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1.下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？
22(1) ex,xex; (2) eax,ebx(a?b)；
(3) 1?cos2x，sin2x； (4) cosx,sinx.
解：(1)无关；(2)无关；(3)无关；(4)无关.
2. 验证y1?x与y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的线性无关解，并写出其通解.
??1，y1???0，代入满足方程；当y2?ex，y2??ex，y2???ex，代解：当y1?x，y1入也满足方程；另外，y1?x，y2?ex是线性无关的（由定义可知），方程的通解为：
y?C1y1?C2y2?C1x?C2ex.
3. 求下列微分方程的通解：
(1) y???2y??3y?0； (2) y???2y??8y?0； (3) y???4y??4y?0； (4) y???6y??9y?0； (5) y???2y??5y?0； (6) y???16y?0 ; (7) y???y?x?ex ； (8) y???y?4sinx.
解：(1) 特征方程r2?2r?3?0的根为：r1??1，r2=3,通解为y?C1e?x?C2e3x； (2) 特征方程r2?2r?8?0的根为：r1??2，r2?4,通解为y?C1e?2x?C2e4x； (3) 特征方程r2?4r?4?0的根为：r1?r2??2,通解为y?C1e?2x?C2xe?2x； (4) 特征方程r2?6r?9?0的根为：r1?r2?3,通解为y?C1e3x?C2xe3x；
(5) 特征方程r2?2r?5?0的根为：r1,2??1?2i,通解为y?e?x(C1cos2x?C2sin2x)； (6) 特征方程r2?16?0的根为：r1,2??4i,通解为y?C1cos4x?C2sin4x； (7) 特征方程r2?1?0的根为：r1?r2??i,齐次通解为y?C1cosx?C2sinx； f(x)?x?ex可以看成是f1(x)?x与f2(x)?ex之和．
所以分别求方程y???y?x与方程y???y?ex的特解． 容易求得方程y???y?x的一个特解为：y1?x．
按例9的方法可求得方程y???y?ex的一个特解为：y2?1ex．
2于是原方程的一个特解为y?y1?y2＝x?1ex．故原方程的通解为
2y?y?Y=x?1ex?C1cosx?C2sinx.
2αx(8) f(x)?4sinx为e(Acosωx?Bsinωx)型的函数，且α?0，ω?1，α?ωi?i是特征方程r2?1?0的根，所以取k?1．设特解为
y?x?Ccosx?Dsinx?．
y??Ccosx?Dsinx?x?Dcosx?Csinx?． y???2Dcosx?2Csinx?x(Ccosx?Dsinx)．
x?C2si?xn4．sxi 代入原方程，得 2Dcos比较两端sinx与cosx的系数，得C??2,D?0，故原方程的特解为y??2xcosx． 而对应齐次方程y???y?0的通解为Y?C1cosx?C2sinx.
于是原方程的通解为y?y?Y??2xcosx＋C1cosx?C2sinx．
4. 求解下列初值问题：
(1) y???2y??y?0,y|x?0?4、y?| x?0??2；
(2) y???2y??y?0,y(0)?y?(0)?1
解：(1) 特征方程r2?2r?1?0的根为：r1?r2??1,通解为y?C1e?x?C2xe?x；代入初值条件y|x?0?4、y?|x?0??2，得C1?4,C2?2，方程特解为y?4e?x?2xe?x.
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