10?0??12?121?12?????0?2??01?010?2??01???00?3?9??00?3?9??00??????0?3?13??00?1?3??00??????1??0?0??0?1??10?2?秩为3
013??000??0010??0?2???13?00???1??0?0??0?4??10?2???013?000??01a1,a2,a3是向量组a1,a2,a3,a4的一个极大线性无关组
且a4??1?2a2.?3?3
四、证明题
22．设向量组α1，α2，α3线性无关，证明α1+α2，α1-α2，α3也无关.
证明：设k1(?1??2)?k2(?1??2)?k3?3?0，即
(k1?k2)?1?(k1?k2)?2?k3?3?0，
由于α1，α2，α
3线性无关，故有
?k1?k2?0? ?k1?k2?0 解之得，k1?k2?k3?0
?k?0?3故α1+α2，α1-α2，α3也线性无关．
23．设向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量
组β1，β2，β3线性无关.
证明：设k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?3??1)?0，即
(k1?k3)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3?0，
由于α1，α2，α
3线性无关，故有
?k1?k3?0? ?k1?k2?0 解之得，k1?k2?k3?0
?k?k?03?2故β1，β2，β3也线性无关．
24.证明：若向量组?1,?2,??n线性无关,而?1??1??n,?2??1??2,?3??2??3,?,
?n??n?1+?n，则向量组?1,?2,?,?n线性无关的充要条件是n为奇数。
11
1 证明
1101??00
0A???????1???1?000?1n?1n为奇数时，A?0??1,?2,?,?n线性无关
即向量组?1,?2,?,?n线性无关的充要条件是n为奇数 第三章 一、单项选择题
1．设α1，α2是非齐次方程组Ax=b的解，β是对应的齐次方程组Ax=0的解，则Ax=b必有一个解是（ ） A．α1+α答案：D
2．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为α=（1，0，2）T，β=（1，-1，3）T，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k, k1, k2, 方程组的通解可表为（ ） A．k1(1,0,2)T+k2(1,-1,3)T B．(1,0,2)T+k (1,-1,3)T
C．(1,0,2)T+k (0,1,-1)T D．(1,0,2)T+k (2,-1,5)T 答案：C
3．已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是其导出组Ax=0的一个基础解系，C1，C2为任意常数，则方程组Ax=b的通解可以表为（ ） 1A．(β1?β2)?C1α1?C2(α1?α2)
21C．(β1?β2)?C1α1?C2(β1?β2)
21B．(β1?β2)?C1α1?C2(α1?α2)
21D．(β1?β2)?C1α1?C2(β1?β2)
22
B．α1-α2 C．β+α1+α
2
11D．β+?1??2
22答案：A
4.设3元线性方程组Ax=b,A的秩为2，?1，?2，?3为方程组的解，?1+?2=（2，0，4）T，
?1+?3=（1，-2，1）T，则对任意常数k，方程组Ax=b的通解为（ ）
A．(1,0,2)T+k(1,-2,1)T C．(2,0,4)T+k(1,-2,1)T
答案：D
B．(1,-2,1)T+k(2,0,4)T D．(1,0,2)T+k(1,2,3)T
5.设?1，?2是Ax=b的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ ） A. η+?1是Ax=0的解 C. ?1+?2是Ax=b的解 答案：B
12
B. η+（?1-?2）是Ax=0的解 D. ?1-?2是Ax=b的解
6．设A为5阶方阵，若秩（A）=3，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5 答案：A
7．设m×n矩阵A的秩为n-1，且ξ1，ξ2是齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解，则Ax=0的通解为（ ）
A．kξ1，k∈R B．kξ2，k∈R C．kξ1+ξ2，k∈R
D．k(ξ1-ξ2),k∈R
答案：D
8．对非齐次线性方程组Am×nx=b，设秩（A）=r，则（ ） A．r=m时，方程组Ax=b有解 B．r=n时，方程组Ax=b有唯一解 C．m=n时，方程组Ax=b有唯一解 D．r 9..设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D 10.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题 11．设非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵为 ?????1???2??1002?1??010?1?2?，则该方程组的通解为_____.答案：?2??k?1?,k为任意常数. ?????0024?6????3???2??0??1?????12．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵A经初等行变换化为： 3?1??1?2??A??02?12?，若方程组无解，则a的取值为____________.答案：0 ?00a(a?1)a?1???13.设A为3?3矩阵,且方程组A x=0的基础解系含有两个解向量,则秩(A)= ____.答案：1 ?122???14.设矩阵A=?2t3?，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=______.答案：2 ?345???15.设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A（5α2-4α1）=_________.答案：b 16.设A是m×n实矩阵，若r（ATA）=5，则r（A）=_________.答案：5 ?a11??x1??1???x???1?有无穷多个解，则a=_________.答案：-2 1a117.设线性方程组????2?????11a????x3?????2??三、计算题 13 ?x1?2x3?x4?2?18．设有非齐次线性方程组?x1?x2?x3?4x4?a ?x?x?3x?2x?1234?1问a为何值时方程组无解？有无穷解？并在有解时求其通解. 212??10212??10????4a???01?13a?2?? 解：?111??1?13?21????0?11?3?1????10212??01?13a?2?? ??0000a?3??a?3时无解，a?3时有无穷解，通解为 ??2???2?????1?????1???1???0??k???3?1?1??k2??,k1k2为任意常数. ??0??????0???0????1???x1?2x19．求线性方程组?2?4x3?3?2x?2?2x3?3的通解. ?2x1?2x2?6x3?3?1243??0解：??0223??1020??1023??????0223???????2263???2040???011?2??0000? ???0??通解为????3????k??2???1??，k?2为任意常数. ?0?????1????x1?x2?x3?x4?x5?720.求非齐次方程组??3x1?2x2?x3?x4?3x5??2?x2?2x3?2x的通解. 4?6x5?23??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?12??111117?211?3?2????11111解：?3??0?1?2?2??0122623??6?01??54?33?112?226?????0?1?8?2?6 7??23??23???23???14 ?1??0?0??0?0?1?1?5?16??1??122623??0???010000???00000???000?1?5?16??102623? ?01000?00000????16??1??5???????23?2??????6?通解为???0??k1?0??k2?0?，k1k2为任意常数. ?0??1??0?????0???0???1????????x3?1?x1?x2??x2?x3?121．当a, b为何值时，方程组? 有无穷多解？并求出其通解. ?2x?3x?(a?2)x?b?323?111??11???11??解：?01?23a?2b?3???1??111???01?11???01ab?1???11??11???01?11? ?00a?1b???a??1且b?0时，方程组有无穷多组解 ?1111??1020?????(A,b)??01?11???01?11? ?0000??0000???????2??0?????通解为??k?1???1?,k为任意常数. ?1??0?????四、证明题 22．设?为Ax=0的非零解，?为Ax=b(b?0)的解，证明?与?线性无关. 证明：设存在数k1,k2使得k1??k2??0（1） k1A??k2A??0即k2b?0,b?0?k2?0代入（1）式，得k1??0,??0?k1?0 从而k1?k2?0，于是?与?线性无关. 23．设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr是其导出组Ax=0的一个基 础解系.证明η，ξ1，ξ2，…，ξr线性无关. ?，kr,kr?1使得k1?1?k2?2???kr?r?kr?1??0（1） 证明：设存在数k1,k2，k1A?1?k2A?2???krA?r?kr?1A??0即kr?1b?0,b?0?kr?1?0代入（1）式，得k1?1?k2?2???kr?r?0因为ξ1，ξ2，…，ξr线性无关 15