从而k1?k2???kr?kr?1?0，于是η，ξ1，ξ2，…，ξr线性无关.
第四章
一、单项选择题
?200??2001．若A=??001?与B???010?相似，则x=（ ???） ?01x?????00?1??A．-1 B．0 C．1 D．2
答案：B
2．若A相似于????10??，则|A-E|=（ ）?0?1 ?A．-1 B．0 C．1 D．2
答案：B
3．设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3. 则|B-1|=（ ） A．
112 B．17 C．7 D．12 答案：A
4．设A为3阶矩阵，且已知|3A+2E|=0，则A必有一个特征值为（ ）
A．?3222 B．?3 C．33 D．2 答案：B
5.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误．．
的是（ ） A.A?B
B.秩（A）=秩（B） C.存在可逆阵P，使P-1AP=B D.?E-A=?E-B
答案：D
6．设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ ）A．E-A B．-E-A C．2E-A D．-2E-A 答案：D
7．设?=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵（A2）-1必有一个特征值等于（ A．14 B．12 C．2 D．4
答案：A
8.若A与B相似，则（ ） A.A，B都和同一对角矩阵相似 B.A，B有相同的特征向量 C.A-λE=B-λE D.|A|=|B| 答案：D
9.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（ ） A.AT B.A2 C.A-1 D.A*
答案：A
16
）
10.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=( ) A.0 B.2 C.3
D.24
11.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=( ) A.-2 B.0 C.2 二、填空题
D.4
12．已知三阶矩阵A的三个特征值是-1，1，2，则|A|=_________.答案：-2 ?101???13．已知矩阵A=?010?的一个特征值为0，则x=____________.答案：1
?10x???-1
14．设A为n阶可逆矩阵，已知A有一个特征值为2，则（2A）必有一个特征值为_____________. 答案：1/4
15.已知A有一个特征值-2,则B=A2+2E必有一个特征值___________.答案：6 16.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则2B=___________.答案：-16
TT
17.已知向量α=（2，1，0，3），β=（1，-2，1，k），α与β的内积为2，则数k=____________.
答案：2/3 18.设向量α=（b,
12,
12）T为单位向量，则数b=______________.答案：0
?0?2?2???19.已知?=0为矩阵A=?22?2?的2重特征值，则A的另一特征值为___.答案：4
??2?22???20.设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3. 则|A+E|=___________.答案：24 21.向量??(3,2,t,1),??(t,?1,2,1)正交,则t?_____________。答案：1/5 22．已知3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3，则|E+A|=______.答案：24 23．已知向量α?(3,k,2)T与β?(1,1,k)T正交，则数k?______.答案：-1 24．已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，3，则|A*|= __________.答案：36
?1?25.设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵?A2?必有一个特征值为____.答案：1/3
?3??1???1?2?2????26.设矩阵A=?2x0?的特征值为4，1，-2，则数x=________________________. ??????200???三、计算题
17
?2?20???127. 设A=??21?2?,求P使PAP为对角矩阵. ??0?20???2??解：A??E??2?21???20?2??(2??)(1??（)??4）?0 ??0，?3?4 所以A的特征值为?1??2，?2?1当?1??2时，方程组（A?2E)x?0的系数矩阵
1??10????1??4?20?2??????p?基础解系A?2E???23?2???01?1??2?是?1??2的特征向量 1?2??0?22??000?????????当?2?1时，方程组（A?E)x?0的系数矩阵
101???2??1?20????????1p?基础解系A?E???20?2???01???1?，为?2?1的特征向量 22??2??0?2?1????000??????当?3?4时，方程组（A?4E)x?0的系数矩阵
??2?20??10?2??2???????A?4E???2?3?2???012?基础解系p3???2?为?3?4的特征向量
?0?2?4??000??1????????1?22???200?????-1
令矩阵P?(p1,p2,p3)??2?1?2?为可逆矩阵，使得PAP??010?
?22?004?1??????87?28.设矩阵A=??12??，
??（1）求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量.
（2）判定A是否可以与对角矩阵相似，若可以，求可逆矩阵P和对角矩阵?，使得P-1AP=?. 解：（1）A??E?8??172???(9??)(1??)?0
，?2?9 所以A的特征值为?1?1 18
当?1?1时，方程组（A?E)x?0的系数矩阵
?77??11???1?????A?E?????基础解系1?11??00??1???1?1的特征向量 ??????当?2?9时，方程组（A?9E)x?0的系数矩阵
??17??1?7??7?????A?9E?????基础解系2?1?7??00??1??为?2?9的特征向量
??????（2）故A的线性无关的特征向量有两个,故A能相似于对角阵.
??17??10?-1
令P?(?1,?2)???11??使得PAP=?=??09??
?????201???29.设矩阵B=?313?，
?405???（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；
（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵?和可逆矩阵P，使P-1BP=?
2??解：A??E?01??0135???(6??)(1??)2?0
34，?3?6 所以A的特征值为?1??2?1当?1??2?1时，方程组（A?E)x?0的系数矩阵
?101??101??0???1?????????A?E??303???000?基础解系p1??1?，p2??0?是?1??2?1的特征向
?404??000??1??0?????????量
当?3?6时，方程组（A?6E)x?0的系数矩阵
1???10??4?1???1???40?????3?A?6E??3?53??01?基础解系p3??3?为?3?6的特征向量
?4??4??4?0?1??000????????故A有三个线性无关的特征向量p1,p2,p3，所以A可相似于对角矩阵，
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?0?11??100?????令矩阵P?(p1,p2,p3)??103?为可逆矩阵，使得P-1AP??010?
?014??006?????第五章
一、单项选择题
1．设有实二次型f(x1,x2,x3)=x22?x23，则f（ ）
A．正定 B．负定 C．不定 D．半正定
答案：D
2．4元二次型f(x1,x2,x3,x4)?x12?2x1x2?2x1x3?2x1x4的秩为（ A．4 B．3 C．2 D．1
答案：C
3．二次型f(x1,x2,x3)?x12?x22?x32?2x1x2?4x1x3的矩阵为（ ）?124??124??112??110?A．??210?? B．??010?? C．??110?? D．??112??
??401????001????201????021??答案：C
4.设有二次型f(x2221,x2,x3)?x1?x2?x3,则f(x1,x2,x3)（ ） A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定
答案：C
5.设A=???11?2，则二次型f(x?1，x?1??2)=xTAx是（ ） A.正定 B.负定 C.半正定 D.不定
答案：B
6.二次型f?xTAx(A为实对称阵)正定的充要条件是（ ） A.A可逆
B.|A|>0
C.A的特征值之和大于0 D.A的特征值全部大于0
答案：D
?k00?7.设矩阵A=??0k?2?正定，则（ ） ???0?24??A.k>0 B.k?0 C.k>1
D.k?1
答案：C
8．4元二次型f(x1,x2,x3,x4)?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x3x4的秩为（
）
20
）